ex6.2.10 二つの独立な正規分布の平均の差のUMVUE

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.2.10

$(\bm{X},\bm{Y})$の結合密度関数は,$X,Y$が独立なので

\begin{align}
f(&\bm{x},\bm{y};\mu,\sigma^2,\xi,\tau^2)\lnl
&=\prod_{i=1}^n \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x_i-\mu)^2\right) \right\}\cdot \prod_{i=1}^m \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi \tau^2}} \exp\left(-\frac{1}{2\tau^2}(y_i-\xi)^2\right) \right\}\lnl
&=\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n {x_i}^2 + \frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i – \frac{1}{2\tau^2}\sum_{i=1}^m {y_i}^2 + \frac{\xi}{\tau^2}\sum_{i=1}^m y_i + Q(\mu,\sigma^2,\xi,\tau^2) \right)
\end{align}

ただし,
\begin{align}
Q(\mu,\sigma^2,\xi,\tau^2)
&=-\frac{n}{2}\left(\frac{\mu^2}{\sigma^2} + \log(2\pi \sigma^2)\right)-\frac{m}{2}\left(\frac{\xi^2}{\tau^2} + \log(2\pi \tau^2)\right)
\end{align}

である.この形から4パラメータの指数分布族となることがわかり,$(\mu,\sigma^2,\xi,\tau^2)$の完備十分統計量は
\begin{align}
S(\bm{X},\bm{Y}) = \left(\sum_{i=1}^n X_i , \sum_{i=1}^m Y_i , \sum_{i=1}^n {X_i}^2 , \sum_{i=1}^m {Y_i}^2 \right)
\end{align}

である.$S(\bm{X},\bm{Y})$の関数で不偏推定量がUMVUEである.

\begin{align}
&\overline{X}-\overline{Y}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i – \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Y_i\lnl
&E\left(\overline{X}-\overline{Y}\right)= \mu – \xi
\end{align}

であるので,$S(\bm{X},\bm{Y})$の関数であり,不偏推定量であることが示されたので$\mu – \xi$のUMVUEである.