1.4.1.微分の基本

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

微分係数

実数$x$の実数関数$f(x)$に対して, ある点$a$の微分係数$f'(a)$は,

\begin{align}
f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}
\end{align}

で定義される.極限値が存在しない場合,微分係数$f'(a)$は存在しない.

(例1)
$f(x) = x^2 , a= 4$のとき,

\begin{align}
f'(4) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(4+h) – f(4)}{h}\lnl
&= \lim_{h\to 0} \frac{(4+h)^2 – (4)^2}{h}\lnl
&= \lim_{h\to 0} \frac{(16 + 8h + h^2) – (16)}{h}\lnl
&= \lim_{h\to 0} (8 + h)\lnl
&= 8
\end{align}

(例2)
$f(x) = \cfrac{1}{x} , a=-2$のとき,

\begin{align}
f'(-2) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(-2+h) – f(-2)}{h}\lnl
&= \lim_{h\to 0} \frac{\cfrac{1}{-2+h} – \cfrac{1}{2}}{h}\lnl
&= \lim_{h\to 0} \frac{\cfrac{(-2) – (-2+h)}{(-2+h)(-2)}}{h}\lnl
&= \lim_{h\to 0} \frac{-h}{h(-2+h)(-2)}\lnl
&= \lim_{h\to 0} \frac{-1}{(-2+h)(-2)}\lnl
&= -\frac{1}{4}
\end{align}

導関数

微分係数は具体的な1点$a$での$f'(a)$を求めることでした.$x$の定義域すべてで微分係数を求め,$x$のそれぞれに対して微分係数を値とする関数を考えると新しい関数が定義されます.
この関数を導関数といい,導関数を求めることを微分するといいます.

導関数は元の関数$f(x)$に対して,

\begin{align}
f'(x)\lnl
\frac{\delt }{\delt x}f(x)
\end{align}

などと表現します.

導関数は

\begin{align}
f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align}

が全ての$x$で存在するとき定義され, $f(x)$は微分可能であるといいます.

(例1)
$f(x) = x^2$のとき,

\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\lnl
&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}\lnl
&= \lim_{h\to 0} \frac{(x^2+2hx + h^2)-x^2}{h}\lnl
&= \lim_{h\to 0} (2x + h)\lnl
&= 2x
\end{align}