ex6.5.15 独立な正規母集団の平均の差の信頼区間(大標本)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.15

標本数が多いため,中心極限定理より男子生徒の得点の平均を表す確率変数$\overline{X}$と, 女子生徒の得点の平均を表す確率変数$\overline{Y}$は近似的に正規分布に従うとみなせる.

与えられた条件より,近似的に

\begin{align}
\overline{X}\sim \mathrm{N}\left(620,\frac{110^2}{200}\right) ,\quad \overline{Y}\sim \mathrm{N}\left(700,\frac{90^2}{180}\right)
\end{align}

となるので,平均の差$Z = \overline{X} – \overline{Y}$とおくと,
\begin{align}
Z \sim \mathrm{N}\left(620-700, \frac{110^2}{200}+\frac{90^2}{180}\right) = \mathrm{N}\left(-80, \frac{110^2}{200}+\frac{90^2}{180}\right)
\end{align}

となる.$Z$の値の$95$%信頼区間は,
\begin{align}
\left[ -80 – z_{0.025}\sqrt{\frac{110^2}{200}+\frac{90^2}{180}} , -80 + z_{0.025}\sqrt{\frac{110^2}{200}+\frac{90^2}{180}} \right]
\end{align}

となる.$Z_{0.025}=1.96$を代入して計算すると,
\begin{align}
[-100.13 , -59.87]
\end{align}

となる.