はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex4.6.4
$Y_n$の積率母関数$m_n(t)$は,
\begin{align}
m_n(t) &= E\left(e^{tY_n}\right)\lnl
&=\sum_{i=1}^n e^{\frac{t}{n}k} \frac{1}{n}\lnl
&=\frac{e^{\frac{t}{n}}}{n(1-e^\frac{t}{n})}(1-e^t)
\end{align}
m_n(t) &= E\left(e^{tY_n}\right)\lnl
&=\sum_{i=1}^n e^{\frac{t}{n}k} \frac{1}{n}\lnl
&=\frac{e^{\frac{t}{n}}}{n(1-e^\frac{t}{n})}(1-e^t)
\end{align}
ここで$n\to \infty$とした極限をとる.$s= \cfrac{1}{n}$とおくと,
\begin{align}
\lim_{n\to \infty}m_n(t) &= \lim_{s\to 0} \frac{se^{st}}{1-e^{st}}(1-e^t)\label{eq-s1}\lnl
&= \lim_{s\to 0} \frac{e^{st} + ste^{st}}{-te^{st}}(1-e^t)\label{eq-s2} \lnl
&= \lim_{s\to 0} \frac{1 + st}{-t}(1-e^t)\lnl
&= \frac{e^t -1}{t}
\end{align}
\lim_{n\to \infty}m_n(t) &= \lim_{s\to 0} \frac{se^{st}}{1-e^{st}}(1-e^t)\label{eq-s1}\lnl
&= \lim_{s\to 0} \frac{e^{st} + ste^{st}}{-te^{st}}(1-e^t)\label{eq-s2} \lnl
&= \lim_{s\to 0} \frac{1 + st}{-t}(1-e^t)\lnl
&= \frac{e^t -1}{t}
\end{align}
これは区間$[0,1]$の(連続)一様分布の積率母関数であるので,連続定理より題意が示された.
なお,$\eqref{eq-s1}$から$\eqref{eq-s2}$への変換にロピタルの定理を用いた.