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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.4.3

$ x > 0$のとき、

\begin{align}
F_X(x) = \int_0^x e^{-t} dt = 1-e^{-x}
\end{align}

(a)

\begin{align} Y=X^3 \Leftrightarrow y^{\frac{1}{3} } = x\end{align}

$y > 0$のとき、

\begin{align}
F_Y(y) &= 1-e^{-y^{1/3}}\\
f_Y(y) &= F_Y'(y) = \frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}e^{-y^{1/3} }
\end{align}

$y \le 0$のとき、

\begin{align}
F_Y(y) &= 0\\
f_Y(y) &= 0
\end{align}

(b)

\begin{align} Y=e^X \Leftrightarrow \log y = x\end{align}

$x > 0 \Rightarrow y > 1$のとき、

\begin{align}
F_Y(y) &= 1-e^{-\log y} = 1- \frac{1}{y}\\
f_Y(y) &= F_Y'(y) = \frac{1}{y^2}
\end{align}

$ y \le 1$のとき、

\begin{align}
F_Y(y) &= 0\\
f_Y(y) &= 0
\end{align}

(c)

\begin{align}Y=\log X \Leftrightarrow e^{y} = x\end{align}

$x > 0 \Rightarrow -\infty < y < \infty$のとき、
\begin{align} F_Y(y) &= 1-e^{-e^y}\\ f_Y(y) &= F_Y'(y) = e^y e^{-e^y} \end{align}