ex7.B.1 確率密度関数が二階偏微分を持つ場合にxに関する単調尤度比を持つための必要十分条件

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.B.1

問題について

問題が少し間違っている気がします.まず確率関数(離散関数)に対して二階偏導関数を条件にしているのがおかしいです.
確率密度関数のほうも二階偏導関数の存在性は必要条件ではなく, 前提かと思います.

この問題はテキストの「参考文献」の12)の「Lehman, E.L., Testing Statistical Hypotheses(2nd ed.),Wiley,1986」から引用していると思われますが,該当の問題は原文では,

「A necessary and sufficient condition for densities $p_\theta(x)$ to have monotone likelihood ratio in $x$, if the mixed second derivative $\partial^2 \log p_\theta(x)/\partial\theta\partial x$ exists, is that this derivative is $\ge 0$ for all $\theta$ and $x$.」

となっておりやはり二階偏導関数の存在性は前提条件になっています.参考までに日本語訳しておきます.

「確率密度関数$p_\theta(x)$が二階偏導関数$\partial^2 \log p_\theta(x)/\partial\theta\partial x$を持つとき, $x$に関する単調尤度比を持つ必要十分条件は, その二階偏導関数が全ての$\theta$と$x$で$\ge 0 $であること.」

解答はこの日本語訳を前提につくっていきます.ただし確率密度関数は元の問題文に合わせて$p_\theta(x) = f_X(x;\theta)$とします.

解答

$f_X$を単に$f$と表記する.$f(x;\theta)$が$x$についての単調尤度比(MLR)を持つとき, 定義より以下が成り立つ.

\begin{align}
\text{全ての} x_1 < x_2 , \theta_1 < \theta_2 \text{に対して,}\qquad \frac{f(x_1;\theta_2)}{f(x_1;\theta_1)} \le \frac{f(x_2;\theta_2)}{f(x_2;\theta_1)} \end{align}
これは, 両辺の対数をとっても同値である. 従って,
\begin{align} 0 &\le \Big(\log f(x_2;\theta_2) - \log f(x_2;\theta_1)\Big) - \Big(\log f(x_1;\theta_2) - \log f(x_1;\theta_1)\Big) \lnl \Longleftrightarrow 0 &\le \frac{\Big(\log f(x_2;\theta_2) - \log f(x_2;\theta_1)\Big) - \Big(\log f(x_1;\theta_2) - \log f(x_1;\theta_1)\Big)}{\theta_2 - \theta_1} \label{eq-7b1-1} \lnl \Longleftrightarrow 0 &\le \frac{\partial}{\partial \theta} \Big(\log f(x_2;\theta) - \log f(x_1;\theta)\Big) \label{eq-7b1-2} \lnl \Longleftrightarrow 0 &\le \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\log f(x_2;\theta) - \log f(x_1;\theta)}{x_2-x_1} \label{eq-7b1-3}\lnl \Longleftrightarrow 0 &\le \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial x} \log f(x;\theta)\label{eq-7b1-4} \end{align}
よって示された. なお, $\eqref{eq-7b1-1}$から$\eqref{eq-7b1-2}$の変形および, $\eqref{eq-7b1-3}$から$\eqref{eq-7b1-4}$の変形は, 各変数に対して以下を用いた. $z$に関する関数$g(z)$について, 全ての点で微分可能ならば,
\begin{align} g(z)\text{が(狭義)単調増加} \Longleftrightarrow \frac{\delt}{\delt z}g(z) \ge 0 \end{align}

同値な条件

式$\eqref{eq-7b1-4}$と同値な条件を紹介しておきます.

\begin{align}
0 &\le \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial x} \log f(x;\theta)\tag{\ref{eq-7b1-4}}\lnl
\Longleftrightarrow &0 \le \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\frac{\partial}{\partial x} \log f(x;\theta)\right)\lnl
\Longleftrightarrow &0 \le \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\frac{1}{f(x;\theta)}\frac{\partial}{\partial x} f(x;\theta)\right)\lnl
\Longleftrightarrow &0 \le -\frac{1}{f(x;\theta)^2}\frac{\partial}{ \partial\theta}f(x;\theta)\frac{\partial}{\partial x}f(x;\theta) + \frac{1}{f(x;\theta)} \frac{\partial^2}{\partial \theta\partial x}f(x;\theta)\lnl
\Longleftrightarrow &\frac{\partial}{ \partial\theta}f(x;\theta)\frac{\partial}{\partial x}f(x;\theta) \le f(x;\theta) \frac{\partial^2}{\partial \theta\partial x}f(x;\theta)
\end{align}