はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.5.6
$\mathrm{Ga}(a,b)$をパラメータ$(a,b)$のガンマ分布とし, ${\chi^2}_n$をパラメータ$n$のカイ二乗分布とする.
$T = \displaystyle \ssum_{i=1}^n X_i $とするとテキスト(3.7.9)より$T \sim \mathrm{Ga}(n,\beta)$である.また(ex3.7.2)より$c$を定数とすると$cT \sim \mathrm{Ga}\left(n,\cfrac{\beta}{c}\right)$となる.
以上より,
\begin{align}
2\beta \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{Ga}\left(n,\frac{1}{2}\right) = {\chi^2}_{2n}
\end{align}
2\beta \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{Ga}\left(n,\frac{1}{2}\right) = {\chi^2}_{2n}
\end{align}
となる.
これを用いると,
\begin{align}
P&\left(\frac{ {\chi^2}_{2n,1-\frac{\alpha}{2}}}{2\displaystyle \ssum_{i=1}^n X_i} \le \beta \le \frac{ {\chi^2}_{2n,\frac{\alpha}{2}}}{2\displaystyle \ssum_{i=1}^n X_i} \right) \lnl
&= P\left({\chi^2}_{2n,1-\frac{\alpha}{2}}\le 2\beta \sum_{i=1}^n X_i \le {\chi^2}_{2n,\frac{\alpha}{2}}\right) \lnl
&= 1-\alpha
\end{align}
P&\left(\frac{ {\chi^2}_{2n,1-\frac{\alpha}{2}}}{2\displaystyle \ssum_{i=1}^n X_i} \le \beta \le \frac{ {\chi^2}_{2n,\frac{\alpha}{2}}}{2\displaystyle \ssum_{i=1}^n X_i} \right) \lnl
&= P\left({\chi^2}_{2n,1-\frac{\alpha}{2}}\le 2\beta \sum_{i=1}^n X_i \le {\chi^2}_{2n,\frac{\alpha}{2}}\right) \lnl
&= 1-\alpha
\end{align}
となるので示された.