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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.6.7

(1) $X+Y$について
$X$と$Y$の積率母関数をそれぞれ求め、$X+Y$の積率母関数が$ m_{X+Y}(t) = m_X(t) m_Y(t) $となることを利用する。

\begin{align}
m_X(t) &= E\left( e^{tX}\right)\lnl
& = \sum_{x=1,2,3} e^{tx} f_X(x)\lnl
&= \frac{e^t + 2e^{2t} + 3e^{3t} } {6}\Lnl
m_Y(t) &= E\left(e^{tY}\right)\lnl
& = \sum_{y=-2,-1,2,4} e^{ty} f_Y(y)\lnl
&= \frac{e^{-2t} + e^{-t} + e^{2t} + e^{4t} } {4}\Lnl
m_{X+Y}(t) &= \frac{1}{24}(e^t + 2e^{2t} + 3e^{3t})(e^{-2t} + e^{-t} + e^{2t} + e^{4t})\lnl
&= \frac{3 + e^{-t} + 5e^{t} + 3e^{2t} + e^{3t} + 2e^{4t} + 4e^{5t} + 2e^{6t} + 3e^{7t}}{24}
\end{align}

従って、

\begin{align}
f_{X+Y}(a) &= \begin{cases}1/24&(a = -1,3)\lnl
2/24&(a = 4,6)\lnl
3/24&(a = 0,2,7)\lnl
4/24&(a = 5)\lnl
5/24&(a = 1)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}\Lnl
F_{X+Y}(a) &= \begin{cases}0&(a <-1)\lnl 1/24&( -1 \le a < 0)\lnl 4/24&( 0 \le a < 1)\lnl 9/24&( 1 \le a < 2)\lnl 12/24&( 2 \le a < 3)\lnl 13/24&( 3 \le a < 4)\lnl 15/24&( 4 \le a < 5)\lnl 19/24&( 5 \le a < 6)\lnl 21/24&( 6 \le a < 7)\lnl 1&( 7 \le a )\end{cases} \end{align}
(2)$X-Y$について $X-Y$の積率母関数が$ m_{X-Y}(t) = m_X(t) m_Y(-t) $となることを利用する。
\begin{align} m_{X-Y}(t) &= \frac{1}{24}(e^t + 2e^{2t} + 3e^{3t})(e^{2t} + e^{t} + e^{-2t} + e^{-4t})\lnl &= \frac{e^{-3t} + 2e^{-t} + e^{t} + e^{2t} + e^{3t} +e^{4t} + e^{5t}}{8} \end{align}
従って、
\begin{align} f_{X-Y}(b) &= \begin{cases}1/8&(b = -3,1,2,3,4,5)\lnl 2/8&(b =-1)\lnl 0&(\text{other})\end{cases}\Lnl F_{X-Y}(b) &= \begin{cases}0&(b <-3)\lnl 1/8&( -3 \le b < -1)\lnl 3/8&( -1 \le b < 1)\lnl 4/8&( 1 \le b < 2)\lnl 5/8&( 2 \le b < 3)\lnl 6/8&( 3 \le b < 4)\lnl 7/8&( 4 \le b < 5)\lnl 1&( 5 \le b )\end{cases} \end{align}