はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex4.3.2
パラメータ$\lambda$の指数分布の確率密度関数$f(x)$と分布関数$F(x)$は,
\begin{align}
f(x) &= \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & x > 0\lnl
0&\text{その他}\end{cases}\Lnl
F(x) &= \begin{cases} 1- e^{-\lambda x} & x > 0\lnl
0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
f(x) &= \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & x > 0\lnl
0&\text{その他}\end{cases}\Lnl
F(x) &= \begin{cases} 1- e^{-\lambda x} & x > 0\lnl
0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
である.
(i)
テキストp172の(4.3.4)より,
\begin{align}
f_{(1)} &= n\big[1 – F(x)\big]^{n-1}f(x)
\end{align}
f_{(1)} &= n\big[1 – F(x)\big]^{n-1}f(x)
\end{align}
である.$F , f$の定義から,
\begin{align}
f_{(1)} =\begin{cases}n\lambda e^{-n\lambda x} &x > 0\lnl
0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
f_{(1)} =\begin{cases}n\lambda e^{-n\lambda x} &x > 0\lnl
0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
となる.
(ii)テキストp172の(4.3.3)より,
\begin{align}
f_{(n)} &= n\big[F(x)\big]^{n-1}f(x)
\end{align}
f_{(n)} &= n\big[F(x)\big]^{n-1}f(x)
\end{align}
である.$F , f$の定義から,
\begin{align}
f_{(n)} =\begin{cases}n\lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda x})^{n-1} &x > 0 \lnl
0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
f_{(n)} =\begin{cases}n\lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda x})^{n-1} &x > 0 \lnl
0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
となる.
(iii)テキストp173の(4.3.6)より$X_{(1)},X_{(n)}$の結合確率密度関数$f_{(1),(n)}$は, $x_1 \le x_n$で,
\begin{align}
f_{(1),(n)}&(x_1,x_n) \lnl
&= n(n-1)\big[F(x_n) – F(x_1)\big]^{n-2} f(x_1)f(x_n)\lnl
&= n(n-1)\big(e^{-\lambda x_1} – e^{-\lambda x_n}\big)^{n-2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_n)}
\end{align}
f_{(1),(n)}&(x_1,x_n) \lnl
&= n(n-1)\big[F(x_n) – F(x_1)\big]^{n-2} f(x_1)f(x_n)\lnl
&= n(n-1)\big(e^{-\lambda x_1} – e^{-\lambda x_n}\big)^{n-2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_n)}
\end{align}
ここで,$R=X_{(n)} – X_{(1)} , U=X_{(1)}$とすると,$R,U$の結合確率密度関数$f_{R,U}$は,
\begin{align}
f_{R,U}&(r,u) \lnl
&= \begin{cases}n(n-1)\lambda^2 e^{-\lambda(2u+r)}\big(e^{-\lambda u} – e^{-\lambda(u+r)}\big)^{n-2}&r \ge 0 , u > 0\lnl
0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
f_{R,U}&(r,u) \lnl
&= \begin{cases}n(n-1)\lambda^2 e^{-\lambda(2u+r)}\big(e^{-\lambda u} – e^{-\lambda(u+r)}\big)^{n-2}&r \ge 0 , u > 0\lnl
0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
となる.よって$R$の周辺確率密度関数$f_R$は,$r \ge 0$で,
\begin{align}
f_R&(r) \lnl
&= \int_0^{\infty} f_{R,U}(r,u)\delt u\lnl
&= \int_0^{\infty} n(n-1)\lambda^2 e^{-\lambda(2u+r)}\big[e^{-\lambda u} – e^{-\lambda(u+r)}\big]^{n-2} \delt u\lnl
&=n(n-1)\lambda^2\left[\frac{-1}{n\lambda} e^{-\lambda(2u+r)}\big[e^{-\lambda u} – e^{-\lambda(u+r)}\big]^{n-2}\right]_0^\infty\lnl
&=(n-1)\lambda e^{-\lambda r}(1-e^{-\lambda r})^{n-2}
\end{align}
f_R&(r) \lnl
&= \int_0^{\infty} f_{R,U}(r,u)\delt u\lnl
&= \int_0^{\infty} n(n-1)\lambda^2 e^{-\lambda(2u+r)}\big[e^{-\lambda u} – e^{-\lambda(u+r)}\big]^{n-2} \delt u\lnl
&=n(n-1)\lambda^2\left[\frac{-1}{n\lambda} e^{-\lambda(2u+r)}\big[e^{-\lambda u} – e^{-\lambda(u+r)}\big]^{n-2}\right]_0^\infty\lnl
&=(n-1)\lambda e^{-\lambda r}(1-e^{-\lambda r})^{n-2}
\end{align}
$r < 0$のときも合わせて,
\begin{align}
f_R(r) = \begin{cases}(n-1)\lambda e^{-\lambda r}(1-e^{-\lambda r})^{n-2}&r \ge 0\lnl
0&r < 0\end{cases}
\end{align}
となる.