ex7.4.8 分散が同一で未知の2つの正規分布の平均に関する両側検定

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.4.8

検定

方法Aで教えた子供の点数の真の平均を$\mu_X$, 方法Bで教えた子供の点数の真の平均を$\mu_Y$とする.また前者の標本を$X_i (i=1,2,\cdots,n)$とし標本平均を$\overline{X}$とする.後者も同様に標本を$Y_i,(i=1,2,\cdots,m)$,標本平均を$\overline{Y}$とする.
題意より

\begin{align}
n=12 , \quad \overline{X}= 68 , \quad , U_X = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(X_i – \overline{X}\right)^2 = 25 \lnl
m=15 , \quad \overline{Y}= 72 , \quad , U_Y = \frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m \left(Y_i – \overline{Y}\right)^2 = 64
\end{align}

である.
帰無仮説$H_0: \mu_X = \mu_Y$, 対立仮説$H_1: \mu_X\ne \mu_Y$の仮説検定を行う.
テキスト(7.4.4)(ii)(c)より,
\begin{align}
T = \left|\frac{\overline{X}- \overline{Y}}{S_p\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n} + \frac{1}{m}}}\right| > t_{n+m-2,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}

であれば,帰無仮説$H_0$を棄却する.ただし,${S_p}^2$は
\begin{align}
{S_p}^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2 + \sum_{i=1}^m \left(Y_i-\overline{Y}\right)^2}{n+m-2}
\end{align}

で与えられる.与えられた数値から具体的に計算すると,
\begin{align}
{S_p}^2 = \frac{\displaystyle (n-1)U_X + (m-1)U_Y}{n+m-2} = \frac{11\times 25 + 14\times 64}{12+15-2} = 46.84
\end{align}

与えられた数値から$T$を計算すると,
\begin{align}
T = \left|\frac{68-72}{\sqrt{46.84}\sqrt{\displaystyle \frac{1}{12} + \frac{1}{15}}}\right| \fallingdotseq 1.509
\end{align}

また,$t_{n+m-2,\frac{0.05}{2}} = 2.060$なので帰無仮説$H_0$は棄却されない.

有意確率

有意確率$p$は,$t_{25}$を自由度$25$の$t$分布に従う確率変数として,

\begin{align}
p = 2\times P(t_{25} < T) \end{align}
である.テキストの統計表より$2 P(t_{25} < t_{25,0.05}) < p < 2 P(t_{25} < t_{25,0.1})$なので,
\begin{align} 0.1 < p < 0.2 \end{align}
である.