はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.4.8
検定
方法Aで教えた子供の点数の真の平均を$\mu_X$, 方法Bで教えた子供の点数の真の平均を$\mu_Y$とする.また前者の標本を$X_i (i=1,2,\cdots,n)$とし標本平均を$\overline{X}$とする.後者も同様に標本を$Y_i,(i=1,2,\cdots,m)$,標本平均を$\overline{Y}$とする.
題意より
\begin{align}
n=12 , \quad \overline{X}= 68 , \quad , U_X = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(X_i – \overline{X}\right)^2 = 25 \lnl
m=15 , \quad \overline{Y}= 72 , \quad , U_Y = \frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m \left(Y_i – \overline{Y}\right)^2 = 64
\end{align}
n=12 , \quad \overline{X}= 68 , \quad , U_X = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(X_i – \overline{X}\right)^2 = 25 \lnl
m=15 , \quad \overline{Y}= 72 , \quad , U_Y = \frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m \left(Y_i – \overline{Y}\right)^2 = 64
\end{align}
である.
帰無仮説$H_0: \mu_X = \mu_Y$, 対立仮説$H_1: \mu_X\ne \mu_Y$の仮説検定を行う.
テキスト(7.4.4)(ii)(c)より,
\begin{align}
T = \left|\frac{\overline{X}- \overline{Y}}{S_p\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n} + \frac{1}{m}}}\right| > t_{n+m-2,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
T = \left|\frac{\overline{X}- \overline{Y}}{S_p\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n} + \frac{1}{m}}}\right| > t_{n+m-2,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
であれば,帰無仮説$H_0$を棄却する.ただし,${S_p}^2$は
\begin{align}
{S_p}^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2 + \sum_{i=1}^m \left(Y_i-\overline{Y}\right)^2}{n+m-2}
\end{align}
{S_p}^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2 + \sum_{i=1}^m \left(Y_i-\overline{Y}\right)^2}{n+m-2}
\end{align}
で与えられる.与えられた数値から具体的に計算すると,
\begin{align}
{S_p}^2 = \frac{\displaystyle (n-1)U_X + (m-1)U_Y}{n+m-2} = \frac{11\times 25 + 14\times 64}{12+15-2} = 46.84
\end{align}
{S_p}^2 = \frac{\displaystyle (n-1)U_X + (m-1)U_Y}{n+m-2} = \frac{11\times 25 + 14\times 64}{12+15-2} = 46.84
\end{align}
与えられた数値から$T$を計算すると,
\begin{align}
T = \left|\frac{68-72}{\sqrt{46.84}\sqrt{\displaystyle \frac{1}{12} + \frac{1}{15}}}\right| \fallingdotseq 1.509
\end{align}
T = \left|\frac{68-72}{\sqrt{46.84}\sqrt{\displaystyle \frac{1}{12} + \frac{1}{15}}}\right| \fallingdotseq 1.509
\end{align}
また,$t_{n+m-2,\frac{0.05}{2}} = 2.060$なので帰無仮説$H_0$は棄却されない.
有意確率
有意確率$p$は,$t_{25}$を自由度$25$の$t$分布に従う確率変数として,
\begin{align}
p = 2\times P(t_{25} < T) \end{align}
である.テキストの統計表より$2 P(t_{25} < t_{25,0.05}) < p < 2 P(t_{25} < t_{25,0.1})$なので,
p = 2\times P(t_{25} < T) \end{align}
\begin{align}
0.1 < p < 0.2
\end{align}
である.