ex3.12.7

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.12.7

(i)

(a) $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 , f(x,y) \ge 0$
(b) $\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y) \delt x\delt y = 1$
を示せばよい。

(a)

$f(x,y)$の定義より、

\begin{align}
&f(x,y) = \frac{1}{2} f_1(x,y) + \frac{1}{2} f_2(x,y) \ge 0\\
&(\because f_1(x,y) \ge 0 , f_2(x,y) \ge 0)
\end{align}

(b)

$f(x,y)$の定義より、

\begin{align}
\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y) \delt x\delt y &= \iint_{\mathbb{R}^2} \left\{\frac{1}{2} f_1(x,y) + \frac{1}{2} f_2(x,y) \right\}\delt x\delt y\lnl
&=\frac{1}{2}\iint_{\mathbb{R}^2} f_1(x,y) \delt x\delt y +\frac{1}{2}\iint_{\mathbb{R}^2} f_2(x,y) \delt x\delt y \lnl
&= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lnl
&= 1
\end{align}

よって$f(x,y)$は確率密度関数である。

(ii)

周辺分布が正規分布に従うことの証明

$X$の周辺密度関数は、

\begin{align}
f_X(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delt y\lnl
&=\int_{-\infty}^{\infty} \left\{\frac{1}{2} f_1(x,y) + \frac{1}{2} f_2(x,y) \right\}\delt y\lnl
&= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x,y) \delt y +\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} f_2(x,y) \delt y \lnl
&= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) +\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) \lnl
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)
\end{align}

これは、$N(0,1)$の密度関数。よって$X$は(標準)正規分布に従う。
同様にして、
\begin{align}
f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)
\end{align}

$Y$も(標準)正規分布に従う。(証明終わり)

$\rho\neq 0$のとき、$X,Y$が二変量正規分布ではないことの証明

$X,Y$が二変量正規分布とする。$X$と$Y$の相関係数を$\rho_0$とすると、

\begin{align}
f(x,y) = \frac{1}{2\pi(1-\rho_0^2)^{\frac{1}{2}}} \exp \left(-\frac{1}{2(1-\rho_0^2)}\{x^2-2\rho_0 xy + y^2\}\right)\tag{A}
\end{align}

一方、与えられた条件から、
\begin{align}
\begin{cases}
f_1(x,y) = \cfrac{1}{2\pi}\exp\left(-\cfrac{1}{2}(x^2+y^2)\right)\\
f_2(x,y) = \cfrac{1}{2\pi(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}}\exp\left(-\cfrac{1}{2(1-\rho^2)}\{x^2-2\rho xy+y^2\}\right)\\
\end{cases}
\end{align}

であるので、
\begin{align}
f(x,y) &= \frac{1}{2} f_1(x,y) + \frac{1}{2} f_2(x,y)\\
&=\frac{1}{4\pi(1-\rho^2)^\frac{1}{2}}R(x,y)\tag{B}
\end{align}

ただし、
\begin{align}
R(x,y) &= (1-\rho^2)^\frac{1}{2}\exp\left(-\cfrac{1}{2}(x^2+y^2)\right) \\
&\qquad+\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\{x^2-2\rho xy + y^2\}\right)
\end{align}

である。
(A)と(B)が恒等式となるためには、$\rho=0$が必要である。

逆に、$\rho=0$であれば、(7)は

\begin{align}
f(x,y) = \frac{1}{2\pi} \exp \left(-\frac{1}{2}\{x^2 + y^2\}\right) \tag{7′}
\end{align}

となり、二変量正規分布となる。
(これは、(5)で$\rho_0=0$とした式と同一となる)