ex4.5.4 期待値は発散するが定数に確率収束する例

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.5.4

定義通りに$E(Y_n)$を計算すると,

\begin{align}
E(Y_n) &= \sum_{y} y\cdot P(Y_n = y) \lnl
&= n^2 \cdot P(Y_n = n^2) + 0\cdot P(Y_n = 0)\lnl
&= n
\end{align}

となる.従って,
\begin{align}
\lim_{n\to \infty} E(Y_n) = \infty
\end{align}

となる.一方, $0 < \epsilon < n^2$としたとき,
\begin{align} P(|Y_n - 0 | < \epsilon) &= P(Y_n = 0) \lnl &= 1 - \frac{1}{n} \lnl &\to 1 \qquad (n\to \infty) \end{align}
となるので, $Y_n \xrightarrow{P} 0$となる.