ex5.3.4 二変量正規分布が5パラメータの指数型分布族であることの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex5.3.4

二変量正規分布の確率密度関数は$\bm{\theta}=(\mu_1,\mu_2,{\sigma_1}^2 ,{\sigma_2}^2,\rho)$とすると

\begin{align}
f(x,y;\bm{\theta})& = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2(1-\rho^2)^\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{Q(x,y;\bm{\theta})}{2(1-\rho^2)}\right) \lnl
&=\exp\left(-\frac{Q(x,y;\bm{\theta})}{2(1-\rho^2)} -\log\left(2\pi\sigma_1\sigma_2(1-\rho^2)^\frac{1}{2}\right) \right)
\end{align}

ここで,
\begin{align}
Q(x,y;\bm{\theta}) &= \frac{(x-\mu_1)^2}{{\sigma_1}^2} – 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{{\sigma_2}^2}\lnl
&= \left(\frac{2\rho\mu_2}{\sigma_1\sigma_2} – \frac{2\mu_1}{{\sigma_1}^2}\right)x + \left(\frac{2\rho\mu_1}{\sigma_1\sigma_2} – \frac{2\mu_2}{{\sigma_2}^2}\right)y \lnl
&\qquad + \frac{x^2}{{\sigma_1}^2} + \frac{y^2}{{\sigma_2}^2} – \frac{2\rho}{\sigma_1\sigma_2}xy\lnl
&\qquad + \left(\frac{{\mu_1}^2}{{\sigma_1}^2} – \frac{2\rho}{\sigma_1\sigma_2}\mu_1\mu_2 + \frac{{\mu_2}^2}{{\sigma_2}^2}\right)
\end{align}

よって,
\begin{align}
&h(x,y) = 1 \\
&c_1(\bm{\theta}) = -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left(\frac{2\rho\mu_2}{\sigma_1\sigma_2} – \frac{2\mu_1}{{\sigma_1}^2}\right) , \qquad T_1(x,y) = x\lnl
&c_2(\bm{\theta}) = -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left(\frac{2\rho\mu_1}{\sigma_1\sigma_2} – \frac{2\mu_2}{{\sigma_2}^2}\right) , \qquad T_2(x,y) = y\lnl
&c_3(\bm{\theta}) = -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \frac{1}{{\sigma_1}^2} , \qquad T_3(x,y) = x^2\lnl
&c_4(\bm{\theta}) = -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \frac{1}{{\sigma_2}^2} , \qquad T_4(x,y) = y^2\lnl
&c_5(\bm{\theta}) = \frac{1}{2(1-\rho^2)} \frac{2\rho}{\sigma_1\sigma_2} , \qquad T_5(x,y) = xy\lnl
&d(\bm{\theta}) = -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left(\frac{{\mu_1}^2}{{\sigma_1}^2} – \frac{2\rho}{\sigma_1\sigma_2}\mu_1\mu_2 + \frac{{\mu_2}^2}{{\sigma_2}^2}\right)-\log\left(2\pi\sigma_1\sigma_2(1-\rho^2)^\frac{1}{2}\right)
\end{align}

とできるので, $5$パラメータの指数型分布族となる.