ex6.5.2 平均未知の正規分布の分散の信頼上限と信頼下限

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.2

テキスト(6.5.6)より,

\begin{align}
\frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2}{\sigma^2} \sim {\chi^2}_{n-1}
\end{align}

である.従って,
\begin{align}
P\left(\frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2}{{\chi^2}_{n-1,1-\alpha}} \ge \sigma^2\right) = P\left(\frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2}{\sigma^2} \ge {\chi^2}_{n-1,1-\alpha} \right)= 1-\alpha
\end{align}

であるので,$100(1-\alpha)$%信頼上限は$\displaystyle \frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2}{{\chi^2}_{n-1,1-\alpha}}$である.同様にして
\begin{align}
P\left(\frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2}{{\chi^2}_{n-1,\alpha}} \le \sigma^2\right) = P\left(\frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2}{\sigma^2} \le {\chi^2}_{n-1,\alpha} \right)= 1-\alpha
\end{align}

であるので,$100(1-\alpha)$%信頼下限は$\displaystyle \frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i-\overline{X}\right)^2}{{\chi^2}_{n-1,\alpha}}$である.