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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.6.2

表記を簡潔にするため、$ m_X^{(n)} = m^{(n)} $と表記する。
また$ m_X(t) = m^{(0)}(t) $と表記することにする。
まず、$n = 1,2$のとき$ m^{(n)}(t) $を計算する。

\begin{align}
m^{(1)} (t) &= \left(e^{\frac{t^2}{2}}\right)’ = t e^{\frac{t^2}{2}} = t m^{(0)}(t)\\
m^{(2)} (t) &= \left(t m^{(0)}(t)\right)’ = m^{(0)}(t) + t m^{(1)}(t)
\end{align}

同様にして、$n=3,4,5$も計算すると、

\begin{align}
m^{(3)} (t) &= \left(m^{(0)}(t) + t m^{(1)}(t)\right)’ = 2m^{(1)}(t) + t m^{(2)}(t)\\
m^{(4)} (t) &= \left(2m^{(1)}(t) + t m^{(2)}(t)\right)’ = 3m^{(2)}(t) + t m^{(3)}(t)\\
m^{(5)} (t) &= \left(3m^{(2)}(t) + t m^{(3)}(t)\right)’ = 4m^{(3)}(t) + t m^{(4)}(t)
\end{align}

上記から、

\begin{align}
m^{(n)}(t) &= (n-1) m^{(n-2)}(t) + tm^{(n-1)}(t) \tag{A}
\end{align}

が予想される。($n = 1$のとき、$ m^{(-1)}(t) $が現れるが係数が$n-1=0$であるため、この項を取り除いて考えてもよいこととすれば、$n=1$でも成り立つ。)
これを証明する。
上記で見た通り、$n=1,2,3,4,5$では成り立つ。
$n=k$で成り立つとすると、($ k \ge 5 $)

\begin{align}
m^{(k)}(t) &= (k- 1) m^{(k-2)}(t) + tm^{(k- 1)}(t)
\end{align}

である。この両辺を$t$で微分すると、

\begin{align}
m^{(k+1)}(t) &= \left( ( k – 1) m^{(k-2)}(t) + tm^{(k – 1)}(t)\right)’\\
&=(k- 1) m^{(k -1)}(t) + m^{(k – 1)}(t) + tm^{(k)}(t) \\
&=k m^{(k – 1)}(t) + tm^{(k)}(t)
\end{align}

従って、$n=k+1$でも成立するので、全ての自然数$n$に対して(A)が成立。

この積率母関数の微分を使って、 $ E(X^{2k – 1}) $ および$ E(X^{2k}) $を計算する。
まずは、$k=1$のとき、

\begin{align}
E(X^{2k – 1}) &= E(X) = m^{(1)}(0) = 0\\
E(X^{2k}) &= E(X^2) = m^{(2)}(0) = 1
\end{align}

である。示すべき式が成立していることがわかる。

(i) $ E(X^{2k – 1}) =0 $ の証明
数学的帰納法で証明する。
$k = s$で証明すべき式が成立するとする、すなわち

\begin{align}
E(X^{2s – 1}) =m^{(2s- 1)}(0) = 0\tag{B}
\end{align}

$k = s+1$のとき、

\begin{align}
E(X^{2(s+1)-1}) &= m^{(2s+1)}(0)\\
&=(2s) m^{(2s-1)}(0) + 0\cdot m^{(2s)}(0) &(\because (A))\\
&=(2s) \cdot 0&(\because (B))\\
&=0
\end{align}

よって、$k=s+1$のときも成立するため示された。

(ii) $ E(X^{2k}) = \frac{(2k)!}{2^k k!} $ の証明
同様に数学的帰納法で証明する。
$k = s$で証明すべき式が成立するとする、すなわち

\begin{align}
E(X^{2s}) =m^{(2s)}(0) = \frac{(2s)!}{2^s s!}\tag{C}
\end{align}

$k = s+1$のとき、

\begin{align}
E(X^{2(s+1)}) &= m^{(2(s+1))}(0)\\
&=(2s + 1) m^{(2s)}(0) + 0\cdot m^{(2s+1)}(0) &(\because (A))\\
&=(2s + 1) \frac{(2s)!}{2^s s!}&(\because (C))\\
&=\frac{2s + 2}{2s + 2} (2s + 1) \frac{(2s)!}{2^s s!}\\
&= \frac{(2s+2)(2s+1)(2s)!}{2\cdot 2^s \cdot (s+1) \cdot s!}\\
&= \frac{(2(s+1))!}{2^{s+1}(s+1)!}
\end{align}

よって、$k=s+1$のときも成立するため示された。