ex6.1.5 一様分布のパラメータの不偏推定量とそのMSE

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.1.5

(i)

\begin{align}
E(2\bar{X}) &= \frac{2}{n} E\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)\\
&= \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)\\
&= \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\theta}{2}\\
&= \theta
\end{align}

よって、$2\bar{X}$は$\theta$の不偏推定量である。

\begin{align}
\textrm{MSE}(2\bar{X},\theta) &= E((2\bar{X} – \theta)^2)\\
&= 4E(\bar{X}^2) – 4\theta E(\bar{X}) + \theta^2\\
\end{align}

ここで、
\begin{align}
V(\bar{X}) &= E(\bar{X}^2) – E(\bar{X})^2 = \frac{\theta^2}{12n}\\
E(\bar{X}) &= \frac{\theta}{2}
\end{align}

であるから、
\begin{align}
E(\bar{X}^2) = \frac{1+3n}{12n} \theta^2
\end{align}

従って、
\begin{align}
\textrm{MSE}(2\bar{X},\theta) &= 4\cdot \frac{1+3n}{12n} \theta^2 – 2\theta^2 + \theta^2\\
&= \frac{\theta^2}{3n}
\end{align}

以上より題意は示された。