ex3.A.4 パレート分布の分布関数・期待値・分散の導出

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.A.4

ここではパレート分布を扱います。

(i)分布関数の導出

与えられた密度関数、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \theta k^{\theta} x^{-\theta-1} & x \ge k\\
0&x < k\end{cases} \end{align}
より、明らかに$x < k$のとき$F_X(x)= 0$である。 $x \ge k$のときは、
\begin{align} F_X(x) &= \int_k^x \theta k^{\theta} t^{-\theta-1} dt\\ &= \theta k^{\theta} \left[\frac{t^{-\theta}}{-\theta}\right]_k^x\\ &= 1- \left(\frac{k}{x}\right)^\theta \end{align}
よって示された。

(ii)期待値・分散の導出

期待値

定義通りに計算する。

\begin{align}
E(X) &= \int_k^{\infty} x\cdot\theta k^{\theta} x^{-\theta-1} dx\\
&= \theta k^{\theta} \left[\frac{x^{-\theta+1}}{-\theta+1}\right]_{k}^{\infty}\\
&= \frac{\theta k}{\theta-1}
\end{align}

ただし、広義積分が収束するためには$\theta > 1$が必要。$0 < \theta \le 1$のとき、期待値は存在しない。 以上より示された。

分散

$E(X^2)$を計算する。

\begin{align}
E(X^2) &= \int_k^{\infty} x^2\cdot\theta k^{\theta} x^{-\theta-1} dx\\
&= \theta k^{\theta} \left[\frac{x^{-\theta+2}}{-\theta+2}\right]_{k}^{\infty}\\
&= \frac{\theta k^2}{\theta-2}
\end{align}

ただし、広義積分が収束するためには$\theta > 2$が必要。$0 < \theta \le 2$のとき、$E(X^2)$は存在しない。 よって、$\theta > 2$で
\begin{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2 = \frac{\theta k^2}{\theta-2} – \left(\frac{\theta k}{\theta -1}\right)^2
\end{align}

となり示された。