ex4.4.2 正規分布のランダム標本の確率

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.4.2

$Z$を標準正規分布に従う確率変数とする.

(i)

\begin{align}
P(X_1 \le 0 ) &=P\left(\frac{X_1 -1}{2} \le \frac{0-1}{2} \right)\lnl
&= P\left(Z \le -\frac{1}{2}\right)\lnl
&= 0.308538
\end{align}

(ii)$1$から全ての観測値が$0$より大きい確率を引けばよい.

\begin{align}
1 – P(X_1 > 0 ,X_2 > 0 ,\cdots X_9 > 0) &= 1 – \prod_{i=1}^9 P(X_i > 0)\lnl
&= 1 – \prod_{i=1}^9 (0.691462)\lnl
&= 0.963866
\end{align}

(iii)標本平均は正規分布の再生性から $\mathrm{N}\left(1,\left(\cfrac{2}{3}\right)^2\right)$に従う.

\begin{align}
P(\overline{X}\le 0) &= P\left(Z < -\frac{3}{2}\right) \lnl &=0.066807 \end{align}

(iv)標本合計$S$は正規分布の再生性から $\mathrm{N}\left(9,6^2\right)$に従う.

\begin{align}
P(S\le 0) &= P\left(Z < -\frac{3}{2}\right) \lnl &=0.066807 \end{align}