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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.8.2

\begin{align}
P(T \le t ) &= P(1-X \le t)\\
&= P(X \ge 1-t)\\
&= \int_{1-t}^1 \frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta – 1} \delt x
\end{align}

ここで、 $ y=1-x $とする。

\begin{align}
P(T \le t ) &=\int_t^{0} \frac{1}{B(\alpha,\beta)} (1-y)^{\alpha -1}y^{\beta – 1}(-1) \delt y\lnl
&= \int_0^{t} \frac{1}{B(\alpha,\beta)} y^{\beta – 1}(1-y)^{\alpha -1} \delt y\lnl
&= \int_0^{t} \frac{1}{B(\beta,\alpha)} y^{\beta – 1}(1-y)^{\alpha -1} \delt y
\end{align}

よって示された。