はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.A.7
(i)
\begin{align}
&V(X+Y+Z) \\
&\quad= V(X+Y) + V(Z) + 2\mathrm{Cov}(X+Y,Z)\\
&\quad= V(X) + V(Y) + 2\mathrm{Cov}(X,Y) + V(Z) \\
&\qquad + 2\mathrm{Cov}(X+Y,Z)\\
&\quad= V(X) + V(Y) + V(Z) + 2\mathrm{Cov}(X,Y) \\
&\qquad + 2\mathrm{Cov}(X,Z ) + 2\mathrm{Cov}(Y,Z)\\
&\quad= 17
\end{align}
&V(X+Y+Z) \\
&\quad= V(X+Y) + V(Z) + 2\mathrm{Cov}(X+Y,Z)\\
&\quad= V(X) + V(Y) + 2\mathrm{Cov}(X,Y) + V(Z) \\
&\qquad + 2\mathrm{Cov}(X+Y,Z)\\
&\quad= V(X) + V(Y) + V(Z) + 2\mathrm{Cov}(X,Y) \\
&\qquad + 2\mathrm{Cov}(X,Z ) + 2\mathrm{Cov}(Y,Z)\\
&\quad= 17
\end{align}
(ii)
\begin{align}
&V(X-2Y-Z) \\
&\quad= V(X-Z) + V(2Y) – 2\mathrm{Cov}(X-Z,2Y)\\
&\quad= V(X) + V(Z) + 4V(Y) – 2\mathrm{Cov}(X,Z) \\
&\qquad – 2\underline{\mathrm{Cov}(X-Z,2Y) }
\end{align}
&V(X-2Y-Z) \\
&\quad= V(X-Z) + V(2Y) – 2\mathrm{Cov}(X-Z,2Y)\\
&\quad= V(X) + V(Z) + 4V(Y) – 2\mathrm{Cov}(X,Z) \\
&\qquad – 2\underline{\mathrm{Cov}(X-Z,2Y) }
\end{align}
下線部は、
\begin{align}
&\mathrm{Cov}(X-Z,2Y) \\
&\quad= E(( X-Z)2Y) – E(X-Z) E(2Y)\\
&\quad= 2E(XY) – 2E(ZY) – 2E(X)E(Y) + 2E(Z)E(Y)\\
&\quad= 2\mathrm{Cov}(X,Y) – 2\mathrm{Cov}(Z,Y)
\end{align}
&\mathrm{Cov}(X-Z,2Y) \\
&\quad= E(( X-Z)2Y) – E(X-Z) E(2Y)\\
&\quad= 2E(XY) – 2E(ZY) – 2E(X)E(Y) + 2E(Z)E(Y)\\
&\quad= 2\mathrm{Cov}(X,Y) – 2\mathrm{Cov}(Z,Y)
\end{align}
よって、
\begin{align}
&V(X-2Y-Z) \\
&\quad= V(X) + V(Z) + 4V(Y) – 2\mathrm{Cov}(X,Z) \\
&\qquad – 4\mathrm{Cov}(X,Y) + 4\mathrm{Cov}(Z,Y)\\
&\quad= 26
\end{align}
&V(X-2Y-Z) \\
&\quad= V(X) + V(Z) + 4V(Y) – 2\mathrm{Cov}(X,Z) \\
&\qquad – 4\mathrm{Cov}(X,Y) + 4\mathrm{Cov}(Z,Y)\\
&\quad= 26
\end{align}