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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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$ X_i \sim B(1,0.05) $とする。

\begin{align}
S:= X_1 + X_2 + \cdots + X_{n}
\end{align}

とする。ここで、

\begin{align}
E(S) &= n \times 0.05 = 0.05n \\
V(S) &= n \times 0.05 \times ( 1 – 0.05) = 0.0475n
\end{align}

であるから、$S$は$N(0.05n , 0.0475n)$で近似できる。

\begin{align}
P(| \hat{p} – 0.05| < 0.02) \ge 0.95 \end{align}
となる$n$を求める。 $ \displaystyle \hat{p} = \frac{S}{n} \sim N\left(0.05,\frac{0.0475}{n}\right) $であることに注意して、
\begin{align} &P(| \hat{p} - 0.05| \le 0.02) \lnl &\quad=P\left(\left|\frac{S}{n} - 0.05\right| \le 0.02\right)\lnl &\quad=P\left(\frac{\left|\frac{S}{n} - 0.05\right|}{\sqrt{\frac{0.0475}{n}}} \le \frac{0.02}{\sqrt{\frac{0.0475}{n}}}\right)\lnl &\quad=P\left(|Z| \le \frac{0.02}{\sqrt{\frac{0.0475}{n}}}\right) \end{align}
ここで、
\begin{align} P(|Z| \le 1.96) = 0.95 \end{align}
であるので、$ \displaystyle \frac{0.02}{\sqrt{\frac{0.0475}{n}}} \ge 1.96 $。 $n$について解いて、$n\ge 456.19$ よって、457個以上検査すればよい。 (本書の解答は単位が"人"となっていますが、"個"ですね) ※初出自に計算間違いをして400個以上と記載していました。お詫びして訂正します。