はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex4.4.4
(ex4.2.1)より,
\begin{align}
S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^2 – \overline{X}^2
\end{align}
S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^2 – \overline{X}^2
\end{align}
と表せる.従って,
\begin{align}
E(S^2) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E({X_i}^2) – E(\overline{X}^2)\lnl
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\sigma^2 + \mu^2) – \left(\mu^2+\frac{1}{n}\sigma^2\right)\lnl
&=\frac{n-1}{n}\sigma^2
\end{align}
E(S^2) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E({X_i}^2) – E(\overline{X}^2)\lnl
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\sigma^2 + \mu^2) – \left(\mu^2+\frac{1}{n}\sigma^2\right)\lnl
&=\frac{n-1}{n}\sigma^2
\end{align}
なお,$E(\overline{X}^2)$の変形は(ex4.2.3)を参照のこと.
次にテキスト(3.9.5)より
\begin{align}
\frac{n}{\sigma^2}S^2 \sim \chi^2(n-1)
\end{align}
\frac{n}{\sigma^2}S^2 \sim \chi^2(n-1)
\end{align}
である.従って,$\chi^2(n-1)$分布に従う確率変数の分散は$2(n-1)$であることを用いると,
\begin{align}
V\left(\frac{n}{\sigma^2}S^2\right) = 2(n-1)\label{eq-1}
\end{align}
V\left(\frac{n}{\sigma^2}S^2\right) = 2(n-1)\label{eq-1}
\end{align}
また,
\begin{align}
V\left(\frac{n}{\sigma^2}S^2\right) = \frac{n^2}{\sigma^4}V(S^2)\label{eq-2}
\end{align}
V\left(\frac{n}{\sigma^2}S^2\right) = \frac{n^2}{\sigma^4}V(S^2)\label{eq-2}
\end{align}
$\eqref{eq-1}$$\eqref{eq-2}$より
\begin{align}
V(S^2) = \frac{\sigma^4}{n^2}2(n-1)
\end{align}
V(S^2) = \frac{\sigma^4}{n^2}2(n-1)
\end{align}
となる.