ex2.5.9

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.5.9

(a) $X$が離散型の場合
$X$が取りうる値を、$ x = c \pm k , (k = 0 ,1 , 2 ,\cdots) $と表すことができる。
$ \sum_{x} f_X(x) $は以下のように表せる(和の範囲は全ての$x$の取りうる値)

\begin{align}
1 &= \sum_{x} f_X(x) \\
&= \sum_{k=1}^\infty f_X(c + k) + \sum_{k=1}^\infty f_X(c – k) + f_X(c) \tag{1}
\end{align}

従って期待値は、

\begin{align}
E(X) &= \sum_{x} x f_X(x)\lnl
&= \sum_{k=1}^\infty (c+k) f_X(c+k) \lnl
&\qquad + \sum_{k=1}^\infty (c – k) f_X(c – k) + c f_X(c) \lnl
&= \sum_{k=1}^\infty \Big\{c (f_X(c+k) \lnl
&\qquad + f_X(c- k)) + \underline { k(f_X(c + k) – f_X(c-k)) }\Big\} + c f_X(c)\lnl
& = c \sum_{x} f_X(x) \qquad(\because \text{下線部は}0)\lnl
&= c
\end{align}

よって示された。
※期待値が存在するならば、 $ \sum_{x} x f_X(x) $は絶対収束するので、和の順序を入れ替えても問題ない。

(b) $X$が連続型の場合

\begin{align}
E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \delt x\lnl
&= \int_{-\infty}^c x f_X(x) \delt x + \int_c^{\infty} x f_X(x) \delt x
\end{align}

ここで、

\begin{align}
\int_{-\infty}^c x f_X(x) \delt x &= \int_0^\infty (c -t) f_X(c- t) \delt t\lnl
& (\text{Put t as } x = c- t)\lnl
\int_{c}^{\infty} x f_X(x) \delt x &= \int_0^\infty (c +t) f_X(c+ t) \delt t \lnl
&(\text{Put t as } x = c+ t)
\end{align}

である。
また、

\begin{align}
1 &= \int_{-\infty}^\infty f_X(x) \delt x\lnl
&= \int_{-\infty}^c f_X(x) \delt x + \int_c^{\infty} f_X(x) \delt x\lnl
&= \int_0^{\infty} f_X(c – t) \delt t + \int_0^{\infty} f_X(c + t) \delt t\lnl
&= \int_0^{\infty}2 f_X(c + t) \delt t \qquad(\because f_X(c-t) = f_X(c + t) )\lnl
&\Rightarrow \int_0^{\infty} f_X(c + t) \delt t = \frac{1}{2}
\end{align}

これから、

\begin{align}
E(X) &= \int_0^{\infty } 2c f_X(c+t) \delt t& (\because f_X(c-t) = f_X(c + t) )\lnl
&= c
\end{align}

よって示された。