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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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期待値の定義から、

\begin{align}
E(Y) &= \sum_{y=1}^k y\times \frac{1}{k} \lnl
&= \frac{k(k + 1)}{2} \cdot \frac{1}{k} \lnl
&= \frac{k+1}{2}
\end{align}

$ E\left(Y^2\right) $を計算してから、$ V(Y) = E\left(Y^2\right) – E(Y)^2 $を用いて分散を計算する。

\begin{align}
E\left(Y^2\right) &= \sum_{y=1}^k y^2 \times \frac{1}{k}\lnl
&= \frac{k(k + 1)(2k + 1 )}{6}\cdot \frac{1}{k} \lnl
&= \frac{(k+1)(2k+1)}{6} \Lnl
V(Y) &= E\left(Y^2\right) – E(Y)^2 \lnl
&= \frac{2k^2 + 3k + 1 }{ 6} – \frac{k^2+2k +1}{4} \lnl
&= \frac{(k + 1)(k – 1)}{12}
\end{align}

よって示された。