ex3.12.3

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.12.3

(3.12.5)より、

\begin{align}
\begin{cases}
E(X|Y) &= \mu_X + \rho\left(\cfrac{\sigma_X}{\sigma_Y}\right)(y-\mu_Y) = 18-0.4y\lnl
E(Y|X) &= \mu_Y + \rho\left(\cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)(x-\mu_X) = 29-0.9x
\end{cases}
\end{align}

$x$と$y$の係数を比べて、
\begin{align}
\begin{cases}
\rho\left(\cfrac{\sigma_X}{\sigma_Y}\right) &= -0.4\lnl
\rho\left(\cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right) &= -0.9
\end{cases}
\end{align}

これより、
\begin{align}
&\rho=-\cfrac{3}{5}&\cfrac{\sigma_X}{\sigma_Y} = \cfrac{2}{3}\tag{A}
\end{align}

この結果と(1)の0次の項を左辺・右辺で比べて、
\begin{align}
\begin{cases}
\mu_X + 0.4\mu_Y = 18\\
\mu_Y + 0.9\mu_X = 29
\end{cases}
\end{align}

これより、
\begin{align}
&\mu_X = 10 & \mu_Y = 20
\end{align}

また、(3.12.5)より、
\begin{align}
V(Y|X) &= \sigma_Y^2(1-\rho^2) = 5.76
\end{align}

(A)の結果を代入して計算すると、
\begin{align}
\sigma_Y^2 = 9 , \sigma_X^2 = 4
\end{align}

以上、まとめると、
$X$の平均$\mu_X=10$ , 分散$\sigma_X^2 = 4$
$Y$の平均$\mu_Y=20$ , 分散$\sigma_Y^2 = 9$
$X$と$Y$の相関係数$\rho = -\cfrac{3}{5}$