ex7.2.5 正規分布の分散の片側検定に対するUMP検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.2.5

平均$0$, 分散$\sigma^2$の正規分布の密度関数は,

\begin{align}
f(x;\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}

である.${\sigma_2}^2 > {\sigma_1}^2$とすると,
\begin{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;{\sigma_2}^2)}{\prod_{i=1}^n f(x_i;{\sigma_1}^2)} = \left(\sqrt{\frac{{\sigma_1}^2}{{\sigma_2}^2}}\right)^n \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\sigma_2}^2} – \frac{1}{{\sigma_1}^2}\right) \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right)
\end{align}

となる.これは$T(\bm{X}) = \displaystyle \sum_{i=1}^n {x_i}^2$に関して単調尤度比をもつ.また,$T(\bm{X})$は自由度$n$の$\chi^2$分布に従う.

よって, 水準$\alpha$のUMP検定は, 次のような検定関数$\varphi$を持つ検定である.

\begin{align}
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i}^2 > k\lnl
0&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i}^2 \le k\lnl
\end{cases}
\end{align}

ただし, $k$は,
\begin{align}
P\left({\chi^2}_n > \frac{k}{{\sigma_0}^2}\right) = \alpha
\end{align}

を満たす.なお${\chi^2}_n$は自由度$n$の$\chi^2$分布に従う確率変数とする.