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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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(1)$E(Y|X=x)$

\begin{align}
E(Y|X=x) &= \frac{\displaystyle \int_0^1 y\cdot(x+y)\delt y}{\displaystyle \int_0^1(x+y)\delt y}\lnl
&= \frac{\left[\cfrac{1}{2}xy^2 +\cfrac{1}{3}y^3\right]_0^1}{\left[xy + \cfrac{1}{2}y\right]_0^1}\lnl
&= \frac{3x+2}{3(2x+1)}
\end{align}

(2)$V(Y|X=x)$

\begin{align}
E(Y^2|X=x) &= \frac{\displaystyle \int_0^1 y^2\cdot(x+y)\delt y}{\displaystyle \int_0^1(x+y)\delt y}\lnl
&= \frac{\left[\cfrac{1}{3}xy^3 +\cfrac{1}{4}y^4\right]_0^1}{\left[xy + \cfrac{1}{2}y\right]_0^1}\lnl
&= \frac{4x+3}{6(2x+1)}\Lnl
V(Y|X=x) &= E(Y^2|X=x) – E(Y|X=x)^2\lnl
&= \frac{4x+3}{6(2x+1)} – \left(\frac{3x+2}{3(2x+1)}\right)^2\lnl
&= \frac{3(4x+3)(2x+1) – 2(3x+2)^2}{18(2x+1)^2}\lnl
&= \frac{6x^2+6x + 1}{18(2x+1)^2}\lnl
&= \frac{1}{36}\left(3-\frac{1}{(2x+1)^2}\right)
\end{align}