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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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まず、$ E(X) , \sigma=SD(X) $を計算する。

\begin{align}
E(X) &= \int_{-1}^1 x\frac{1}{2} \delt x = 0\lnl
E(X^2) &= \int_{-1}^1 x^2\frac{1}{2} \delt x = \frac{1}{3}\lnl
SD(X) &= \sqrt{V(X)} = \sqrt{E(X^2) – E(X)^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{align}

$ P(|X| \ge 1.5 \sigma) $ を計算する。

\begin{align}
P(|X| \ge 1.5 \sigma) &= P(|X| \ge 1.5 /\sqrt{3})\lnl
& \fallingdotseq P(|X| \ge 0.866) &(\because 1.5/\sqrt{3} \fallingdotseq 0.866)\lnl
&= 1- \int_{-0.866}^{0.866} \frac{1}{2} \delt x\lnl
&= 0.134
\end{align}

よって示された。
一方、チェビシェフの不等式では、

\begin{align}
P(|X – E(X)| \ge a ) \le \frac{V(X)}{a^2}
\end{align}

だから、

\begin{align}
P(|X – E(X)| \ge 1.5\sigma ) = P(|X| \ge 1.5\sigma) \le \frac{V(X)}{(1.5)^2 V(X)} \fallingdotseq 0.444
\end{align}

直接計算のほうが精度がよい。