ex7.3.2 ベルヌーイ分布のパラメータが指定値以下の帰無仮説に関する尤度比検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.3.2

(i)全パラメータ空間でのパラメータ$p$の最尤推定量$\hat{p}$を求める

テキストの(例6.3.1)より, 全パラメータ空間の$p$の最尤推定量は,

\begin{align}
\hat{p} = \overline{X}
\end{align}

である.

(ii)$H_0$の下でのパラメータ$p$の最尤推定量$\hat{p}_0$を求める

$\hat{p} \le p_0$のときと$\hat{p} > p_0$のときで場合分けして考える.

$\hat{p}\le p_0$のとき

当然,$H_0$の中に全パラメータ空間の最尤推定量を含むので,

\begin{align}
\hat{p}_0 = \hat{p}= \overline{X}
\end{align}

$\hat{p} > p_0$のとき

尤度関数, 対数尤度関数を計算すると,

\begin{align}
L(p;\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i}\lnl
l(p;\bm{x}) &= \sum_{i=1}^n x_i \cdot \log p + \sum_{i=1}^n(1-x_i)\cdot \log(1-p)\lnl
&= n \log(1-p) + \sum_{i=1}^n x_i \Big(\log p – \log(1-p)\Big)
\end{align}

従って,
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial p} l(p;\bm{x}) &= -\frac{n}{1-p} + \sum_{i=1}^n x_i \left(\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p}\right)
\end{align}

簡単にわかるように,帰無仮説$H_0$:$p \le p_0$かつ$p_0 < \hat{p}= \overline{X}$のとき, $\cfrac{\partial}{\partial p} l(p;\bm{x}) > 0$となる.
従って, $L$は$p$に関して単調増加であるため,最尤推定量$\hat{p}_0$は,
\begin{align}
\hat{p}_0 = p_0
\end{align}

である.

(iii)$\lambda(\bm{x})= \cfrac{L(\hat{p}_0;\bm{x})}{L(\hat{p};\bm{x})}$を計算する

$\hat{p}\le p_0$のとき

(ii)の結果より,

\begin{align}
\lambda(\bm{x})= \cfrac{L(\hat{p}_0;\bm{x})}{L(\hat{p};\bm{x})} = 1
\end{align}

$\hat{p} > p_0$のとき

(i)(ii)の結果より分母・分子を計算する.

\begin{align}
L(\hat{p}_0;\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n {\hat{p}_0}^{x_i} \cdot (1-p_0)^{1-x_i} = {p_0}^{n\overline{x}} \cdot (1-\hat{p}_0)^{n(1-\overline{x})}\lnl
L(\hat{p};\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n {\hat{p}}^{x_i} \cdot (1-\hat{p})^{1-x_i} = {\overline{x}}^{n\overline{x}} \cdot (1-\overline{x})^{n(1-\overline{x})}
\end{align}

であるので,
\begin{align}
\lambda(\bm{x}) &= \left(\frac{p_0}{\overline{x}}\right)^{n\overline{x}}\left(\frac{1-p_0}{1-\overline{x}}\right)^{n(1-\overline{x})}\lnl
&= \left(\frac{p_0}{\overline{x}}\cdot \frac{1-\overline{x}}{1-p_0}\right)^{n\overline{x}} \cdot \left(\frac{1-p_0}{1-\overline{x}}\right)^n
\end{align}

(iv)$P(\lambda(\bm{x})< c) = \alpha$となる棄却域を求める

$\hat{p}\le p_0$のとき

$\lambda(\bm{x})$は$1$なので, そのような棄却域を定めることはできない.

$\hat{p} > p_0$のとき

$\overline{x} = \hat{p}> p_0$より,

\begin{align}
\frac{p_0}{\overline{x}} > 1 ,\quad \frac{1-\overline{x}}{1-p_0} > 1
\end{align}

なので,
\begin{align}
\left(\frac{p_0}{\overline{x}}\cdot \frac{1-\overline{x}}{1-p_0}\right)^{n\overline{x}}
\end{align}

は$\overline{x}$に関して単調増加である.また,
\begin{align}
\left(\frac{1-p_0}{1-\overline{x}}\right)^n
\end{align}

も$\overline{x}$に関して単調増加である.従って$\lambda(\bm{x})$は$\overline{x}$に関して単調増加.

従って,$P(\lambda(\bm{x}) < c) = \alpha$を満たす定数$c$が存在し,それに対して定数$c'$が存在して

\begin{align} P(\overline{x} > c’) = \alpha
\end{align}

とすることができる.
\begin{align}
\overline{x}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\end{align}

だから, $nc’ = k$とおくと, 求める尤度比検定は,
\begin{align}
\sum_{i=1}^n x_i > k
\end{align}

なら$H_0$を棄却する検定である.