はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.4.12
$X,Y$は独立だから、
\begin{align}
f_{X,Y}(x,y ) = f_X(x) f_Y(y)
\end{align}
f_{X,Y}(x,y ) = f_X(x) f_Y(y)
\end{align}
が成り立つ。
(i)(2.4.9)の(iii)より、
\begin{align}
f_W(w) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,w/x ) |1/x| \delt x\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) f_{Y}(w/x)|1/x| \delt x
\end{align}
f_W(w) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,w/x ) |1/x| \delt x\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) f_{Y}(w/x)|1/x| \delt x
\end{align}
よって示された。
(ii)(2.4.9)の(iv)より、
\begin{align}
f_V(v) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(vy,y ) |y| \delt y\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(vy) f_{Y}(y)|y| \delt x
\end{align}
f_V(v) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(vy,y ) |y| \delt y\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(vy) f_{Y}(y)|y| \delt x
\end{align}
よって示された。