ex3.A.1 コーシー分布の性質

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
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$\require{ulem}$

ex3.A.1

この問題ではコーシー分布を扱っています。

(i)

与えられた確率密度関数は、

\begin{align}
f_X(x) = \frac{\alpha}{\pi[\alpha^2 + (x-\beta)^2]}
\end{align}

である。ここで全ての$x$で、
\begin{align}
\alpha > 0 , \pi > 0 , \alpha^2 > 0 , (x-\beta)^2 \ge 0
\end{align}

であるので、
\begin{align}
f_X(x) > 0
\end{align}

が言える。上記の通り等号成立はしない。

次に、$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1$を示す。

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx &= \frac{\alpha}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\alpha^2 + (x-\beta)^2} dx\\
\left(\text{put }\frac{x-\beta}{\alpha} \text{ as }t \right)\\
&= \frac{\cancel{\alpha}}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\cancel{\alpha^2}} \frac{\cancel{\alpha}}{1+t^2} dt\\
&= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+t^2} dt\\
&= \frac{1}{\pi} \Bigl[\arctan t \Bigr]_{-\infty}^{\infty} \\
&= \frac{1}{\pi} \left\{\frac{\pi}{2} -\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right\}\\
&= 1
\end{align}

よって示された。

(ii)

分布関数は、

\begin{align}
F_X(x) &= \int_{-\infty}^{x} \frac{\alpha}{\pi(\alpha^2+(u – \beta)^2)} du\\
\left(\text{put }\frac{u-\beta}{\alpha} \text{ as }t \right)\\
&= \int_{-\infty}^{\frac{x-\beta}{\alpha}} \frac{\cancel{\alpha}\cdot \cancel{\alpha}}{\cancel{\alpha^2} \pi(1+t^2)} dt\\
&= \frac{1}{\pi} \Bigl[\arctan t\Bigr]_{-\infty}^{\frac{x-\beta}{\alpha}}\\
&= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan \left(\frac{x – \beta}{\alpha}\right)
\end{align}

(iii)

期待値は、

\begin{align}
E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x \frac{\alpha}{\pi(\alpha^2+(x – \beta)^2)} dx\\
\left(\text{put }\frac{x-\beta}{\alpha} \text{ as }t \right)\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cancel{\alpha}\cdot \cancel{\alpha} (\alpha t + \beta)}{\cancel{\alpha^2} \pi(1+t^2)} dt\\
&= \frac{\alpha}{\pi} \underset{(A)}{\underline{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t}{1+t^2} dt}} + \frac{\beta}{\pi} \underset{(B)}{\underline {\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+t^2} dt }}
\end{align}

ここで、

\begin{align}
(A) &= \frac{1}{2}\Bigl[\log(1+t^2)\Bigr]_{-\infty}^{\infty}\\
&= \frac{1}{2}\left\{\lim_{t \to \infty} \log(1+t^2) – \lim_{t \to -\infty} \log(1+t^2) \right\}\\
(B) &= \Bigl[\arctan t\Bigr]_{-\infty}^{\infty} = \beta
\end{align}

(A)は不定形であるため$E(X)$は存在しない。

(iv)

モード

確率密度関数を微分して、

\begin{align}
f_X'(x) &= – \frac{2\alpha(x-\beta)}{\pi(\alpha^2 + (x-\beta)^2)^2}
\end{align}

$f_X'(x) = 0$を解くと$x = \beta$。増減表は、

\begin{array}{|c|*4{c|}} \hline
x& 0 & \cdots & \beta & \cdots \\ \hline
f_X’&/&+&0&- \\ \hline
f_X & / & \nearrow & \text{Max} & \searrow \\ \hline
\end{array}

以上よりモードは$x = \beta$であることが示された。

メジアン(中央値)

メジアン$m$は、

\begin{align}
F_X(m) = \frac{1}{2}
\end{align}

を満たす。(ii)の結果より、
\begin{align}
&\frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{m-\beta}{\alpha}\right) = 0\\
&\Leftrightarrow \frac{m-\beta}{\alpha} = 0\\
&\Leftrightarrow m = \beta
\end{align}

以上よりメジアンは$x = \beta$であることが示された。

(v)

$c > 0$として、$f_X(\beta + c) = f_X(\beta -c)$を示せばよい。
与えられた密度関数より、

\begin{align}
f_X(\beta+c) = \frac{\alpha}{\pi(\alpha^2 + \{(\beta+c) – \beta\}^2)} = \frac{\alpha}{\pi(\alpha^2 + c^2)}\\
f_X(\beta-c) = \frac{\alpha}{\pi(\alpha^2 + \{(\beta-c) – \beta\}^2)} = \frac{\alpha}{\pi(\alpha^2 + c^2)}
\end{align}

よって示された。