ex7.A.1 平均に関する片側検定と信頼区間

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.A.1

検定

今年の試験の本当の平均を$\mu$とする.$\mu_0 = 70$とし, 帰無仮説$H_0$:$\mu \le \mu_0$に対する検定を行う.
テキスト(7.4.2)(ii)(a)より,水準$\alpha$としたとき,

\begin{align}
T = \frac{\overline{X} – \mu_0}{\sqrt{U^2}/\sqrt{n}} > t_{n-1,\alpha}
\end{align}

ならば帰無仮説$H_0$を棄却する.ここで,$n$は標本数$n=200$であり, $\overline{X}$は標本平均, $U^2$は不偏分散である.与えられた数値から具体的に計算すると,
\begin{align}
&\overline{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = 72\lnl
&U^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \overline{X})^2 \fallingdotseq 121.61
\end{align}

となる.

従って,

\begin{align}
T = \frac{72 – 70}{\sqrt{121.61}/\sqrt{200}} \fallingdotseq 2.56
\end{align}

となる.

統計表には自由度$199$の$t$分布の値は載っていないが,

\begin{align}
t_{120,0.01} > t_{199,0.01} > t_{\infty, 0.01} \Rightarrow 2.358 > t_{199,0.01} > 2.326\\
t_{120,0.005} > t_{199,0.005} > t_{\infty,0.005} \Rightarrow 2.617 > t_{199,0.005} > 2.576
\end{align}

であることがわかる.従って水準$0.01$の検定であれば帰無仮説は棄却できないが, 水準$0.005$の検定であれば帰無仮説$H_0$は棄却.つまり, 有意確率$p$は,
\begin{align}
0.005 < p < 0.01 \end{align}
となる.

信頼区間

テキスト(6.5.5)(ii)より,

\begin{align}
\left[ \overline{X} – t_{n-1,\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{U^2}{n}},\overline{X} + t_{n-1,\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{U^2}{n}}\right]
\end{align}

となる.ここで
\begin{align}
&t_{\infty,0.025} < t_{199,0.025} < t_{120,0.025}\\ \Longrightarrow & 1.960 < t_{199,0.025} < 1.980 \end{align}
だから,
\begin{align} R_1 &= \left[ 72 - 1.960\times \sqrt{\frac{121.61}{200}}, 72 + 1.960 \sqrt{\frac{121.61}{200}}\right]\lnl &\fallingdotseq \left[ 70.472 , 73.528\right] \lnl R_2 &= \left[ 72 - 1.980\times \sqrt{\frac{121.61}{200}}, 72 + 1.980 \sqrt{\frac{121.61}{200}}\right]\lnl &\fallingdotseq \left[ 70.456 , 73.544\right] \end{align}
としたとき,求める信頼区間は$72$からの幅を考えると, $R_1$よりも幅が広く, $R_2$よりも狭い区間である.