ex7.5.7 独立性の検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.5.7

カイ二乗検定

帰無仮説$H_0$:「好感度と性別の間に関係がない」に対する検定を行う.$H_0$が正しい場合の「好き」「嫌い」「どちらでもない」の各期待確率$p_1,p_2,p_3$は,

\begin{align}
p_1 = \frac{193}{400} ,\quad p_2 = \frac{123}{400} ,\quad \frac{84}{400}
\end{align}

である.従って期待度数を表にすると,

$
\begin{array}{|c||*{3}{c|}|c|} \hline
\text{}&\text{好き}&\text{嫌い}&\text{どちらでもない}&\text{計} \\\hline
\text{男}&p_1\times 242&p_2\times 242&p_3 \times 242&242 \\\hline
\text{女}&p_1\times 158&p_2\times 158&p_3 \times 158&158 \\\hline
\text{計}&193&123&84&400 \\\hline
\end{array}
$

となる.これはすなわち,

$
\begin{array}{|c||*{3}{c|}|c|} \hline
\text{}&\text{好き}&\text{嫌い}&\text{どちらでもない}&\text{計} \\\hline
\text{男}&116.77&74.42&50.82&242 \\\hline
\text{女}&76.24&48.59&33.18&158 \\\hline
\text{計}&193&123&84&400 \\\hline
\end{array}
$

となる(四捨五入の関係で計に誤差が出ている箇所がある)

従って,$Q(\bm{X})$は,

\begin{align}
Q(&\bm{X}) \lnl
&= \frac{(110-116.77)^2}{116.77} + \frac{(72-74.42)^2}{74.42} + \frac{(60-50.82)^2}{50.82} \\
&\quad+ \frac{(83-76.24)^2}{76.24} + \frac{(51-48.59)^2}{48.59} + \frac{(24-33.18)^2}{33.18}\lnl
&\fallingdotseq 5.39
\end{align}

となる.

$Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,$(3-1)(2-1) = 2$である. 統計表より

\begin{align}
&\chi^2_{2,0.1} = 4.6052\\
&\chi^2_{2,0.05} = 5.9915
\end{align}

であるから,有意確率$p$は
\begin{align}
0.05 < p < 0.1 \end{align}
である.

尤度比検定

テキスト(7.5.2)より

\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) &= 2\Bigg(110 \log\frac{110}{116.77} + 72 \log\frac{72}{74.42} + 60 \log\frac{60}{50.82} \lnl
&\quad + 83 \log\frac{83}{76.24} + 51\log\frac{51}{48.59} + 24\log\frac{24}{33.18}\Bigg)\lnl
&= 5.52
\end{align}

が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$(3-1)(2-1) = 2$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
尤度比検定を用いた場合の有意確率$p$は,
\begin{align}
0.05 < p < 0.1 \end{align}
である.