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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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ポアソン分布の再生性より、

\begin{align}
X_1+_X2+\cdots + X_n \sim Po(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots \lambda_n)
\end{align}

所与の確率は、

\begin{align}
P&(X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n | X_1+X_2+\cdots+X_n = m)\lnl
&=\frac{P(X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n ,x_1+x_2+\cdots +x_n=m) }{P(X_1+X_2+\cdots+X_n = m)}\lnl
&=\frac{\prod_{i=1}^n P(X_i=x_i , x_1+x_2+\cdots x_n=m)}{P(X_1+X_2+\cdots+X_n = m)}\lnl
&=\prod_{i=1}^{n} \left(\frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^{x_i}}{x_i!}\right)\frac{m!}{e^{-(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)}(\lambda_1+\lambda_2+\cdots\lambda_n)^m}\lnl
&\qquad(\text{下の制約(A)の制約を受けるものとする})\lnl
&=\frac{m!}{x_1!x_2!\cdots x_n!}\frac{\lambda_1^{x_1}\lambda_2^{x_2}\cdots \lambda_n^{x_n}}{(\lambda_1+\lambda_2+\cdots\lambda_n)^m}\lnl
&=\frac{m!}{x_1!x_2!\cdots x_n!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_n^{x_n}
\end{align}

制約(A):$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i = m$

以上より多項分布に従う。