ex3.10.1 F分布の最頻値(モード)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.10.1

自由度$m,n$の$F$分布の密度関数は、(3.10.2)より、

\begin{align}
f_X(x)=\begin{cases}\underline{\cfrac{\Gamma \left[\cfrac{(m+n)}{2}\right] m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\cfrac{m}{2}\right)\Gamma\left(\cfrac{n}{m}\right)}}\cdot \cfrac{x^{\left(\frac{m}{2}\right)-1}}{(mx+n)^{\frac{(m+n)}{2}}} & \quad x > 0\lnl
0 &\quad \text{other}\tag{A}
\end{cases}
\end{align}

である。
密度関数は$f_X(x) \ge 0$であるため、モードが存在するならば$x > 0 $の範囲に存在することがわかる。
以後、$x > 0$として考える。
密度関数を$x$で微分して極値を求める。
なお、係数部分((A)の下線部)を$K$とおくと、$K > 0$であるから、

\begin{align}
f_X'(x) &= K\left(\cfrac{x^{\left(\frac{m}{2}\right)-1}}{(mx+n)^{\frac{(m+n)}{2}}}\right)’\lnl
&=K\left(\frac{m}{2} -1\right)\frac{x^{\left(\frac{m}{2}\right)-2}}{(mx+n)^{\frac{(m+n)}{2}}}+\left(-\frac{m+n}{2}\right)\frac{mx^{\left(\frac{m}{2}\right)-1}}{(mx+n)^{\frac{(m+n)}{2}+1}}\lnl
&=K\frac{x^{\left(\frac{m}{2}\right)-2}}{(mx+n)^{\frac{(m+n)}{2}+1}}\left\{\left(\frac{m}{2} -1\right)(mx+n)-\left(\frac{m+n}{2}\right)mx \right\}\lnl
&=K\frac{x^{\left(\frac{m}{2}\right)-2}}{(mx+n)^{\frac{(m+n)}{2}+1}}\left\{\underline{-m\left(1+\frac{n}{2}\right)x + n\left(\frac{m}{2}-1\right)} \right\}
\end{align}

$f_X'(x) = 0$を($x \ne 0$で)解いて、

\begin{equation}
x = \frac{n(m-2)}{m(n+2)}
\end{equation}

これは、$m>2$で正となる。
増減表は、

\begin{array}{|c|*4{c|}} \hline
x& 0 & \cdots & \frac{n(m-2)}{m(n+2)} & \cdots \\ \hline
f_X’&\text{—}&+&0&- \\ \hline
f_X & \text{—} & \nearrow & \text{最大値} & \searrow \\ \hline
\end{array}

となり、モードが$\cfrac{n(m-2)}{m(n+2)} $であることが示された。