はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.12.5
期待値の線形性より、
\begin{align}
E(aX+bY+c) &= aE(X) + bE(Y) + c \\
&= a\mu_X + b\mu_Y + c
\end{align}
E(aX+bY+c) &= aE(X) + bE(Y) + c \\
&= a\mu_X + b\mu_Y + c
\end{align}
よって示された。
分散はテキストp89の(2.7.7)より、
\begin{align}
V(aX+bY+c) &= a^2V(X) + b^2V(Y) +2ab\mathrm{Cov}(X,Y)\\
&=a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\rho \sigma_X \sigma_Y
\end{align}
V(aX+bY+c) &= a^2V(X) + b^2V(Y) +2ab\mathrm{Cov}(X,Y)\\
&=a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\rho \sigma_X \sigma_Y
\end{align}
よって示された。