ex4.6.3 標準正規分布に収束する分布の例

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.6.3

$Y_n$の定義からその確率密度関数$f_n(y)$は, $f_Z(z)$を標準正規分布の確率密度関数をとすると ,

\begin{align}
f_n(y) = f_Z\big((-1)^n y\big) = \begin{cases}f_Z(y)&n\text{が偶数}\\
f_Z(-y)&n\text{が奇数}\end{cases}
\end{align}

である.
標準正規分布の分布関数を$\Phi(z)$とする.
$n$が偶数の場合には確率密度関数が一致するので,$F_n(y) = \Phi(y)$である.
$n$が奇数の場合にも$F_n(y) = \Phi(y)$となることを示す.
$Y_n$の確率密度関数$f_n(y)$は,テキスト(2.4.3)より,
\begin{align}
f_n(y) = f_Z(-y)|-1| = f_Z(-y) = f_Z(y)
\end{align}

となる.なお最後の等式は標準正規分布が$z=0$で対称であることを利用した.

従って,

\begin{align}
F_n(y) = \int_{-\infty}^y f_Z(t) \delt t = \Phi(y)
\end{align}

となり,$n$が奇数の場合も$F_n(y) = \Phi(y)$が成り立つ.

従って,全ての$n$で$F_n(y) = \Phi(y)$となるため$Y_n$は$Z$に法則収束する.