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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.6.4

$ X \sim N(10,4) $とする。$Z$を標準正規分布に従う確率変数とする。

(i)

\begin{align}
\{P(X \ge 12.5)\} ^3 &= \left\{ P\left(\frac{X-10}{2} \ge 1.25\right)\right\}^3 \lnl
&= \left\{1- P\left(\frac{X-10}{2} < 1.25\right)\right\}^3 \lnl &= (0.10565)^3 \end{align}

(ii)

\begin{align}
1-\{P(X \ge 12.5)\} ^3 &= 1- (0.10565)^3
\end{align}

(iii)
$ X_1 , X_2 , X_3 \sim N(10,4) $とする。
正規分布の再生性から、$ X_1 + X_2 + X_3 \sim N(30 , 12) $である。

\begin{align}
P(X_1 + X_2+ X_3 \ge 35) &= P \left(\frac{X_1+X_2+X_3 – 30}{\sqrt{12} } \ge \frac{5}{\sqrt{12} } \right)\lnl
&= 1 – P(Z < 1.44)\lnl &= 0.074934 \end{align}
$ 5/\sqrt{12} $ を $1.44$で近似した。

(iv)

\begin{align}
P\left(\frac{X_1+X_2+X_3}{3} \ge 9\right) &= P\left( \frac{X_1 + X_2 + X_3 -30}{\sqrt{12} } \ge -\frac{3}{\sqrt{12} } \right)\lnl
&=P(Z \ge -0.87)\lnl
&=0.19215
\end{align}

$ -3/\sqrt{12} $を$-0.87$で近似した。
本書に載っている解答は$0.1935$である。

Rでの結果

> pnorm(-3/sqrt(12))
[1] 0.1932381