はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.5.2
カイ二乗検定
テキスト(7.5.1)(i)より各色の出現確率が予想通りであるという帰無仮説$H_0$と,そうではないという対立仮説$H_1$に関する検定を行う.
テキスト(7.5.1)(i)の定義通り$Q(\bm{X})$を計算する.次の表を順次埋めるようにして計算すればよい.
$
\begin{array}{|c||*{4}{c|}|c|} \hline
\text{添字}i&1&2&3&4&\text{計} \\\hline
\text{色}&\text{赤}&\text{青}&\text{黄}&\text{緑}&\text{–} \\\hline
\text{観測度数}x_i&50&48&50&52&200\\ \hline
\text{期待確率}p_{0i}&0.2&0.4&0.15&0.25&1\\ \hline
\text{期待度数}np_{0i}&40&80&30&50&200\\ \hline
x_i-np_{0i}&10&-32&20&2&\text{–} \\ \hline
(x_i-np_{0i})^2&100&1024&400&4&\text{–} \\ \hline
\frac{(x_i-np_{0i})^2}{np_{0i}}&2.5&12.8&13.33&0.08&28.71 \\ \hline
\end{array}
$
\begin{array}{|c||*{4}{c|}|c|} \hline
\text{添字}i&1&2&3&4&\text{計} \\\hline
\text{色}&\text{赤}&\text{青}&\text{黄}&\text{緑}&\text{–} \\\hline
\text{観測度数}x_i&50&48&50&52&200\\ \hline
\text{期待確率}p_{0i}&0.2&0.4&0.15&0.25&1\\ \hline
\text{期待度数}np_{0i}&40&80&30&50&200\\ \hline
x_i-np_{0i}&10&-32&20&2&\text{–} \\ \hline
(x_i-np_{0i})^2&100&1024&400&4&\text{–} \\ \hline
\frac{(x_i-np_{0i})^2}{np_{0i}}&2.5&12.8&13.33&0.08&28.71 \\ \hline
\end{array}
$
以上より,$Q(\bm{X}) = 28.71$である.また,統計表より
\begin{align}
\chi^2_{3,0.005} = 12.838
\end{align}
\chi^2_{3,0.005} = 12.838
\end{align}
であるから,水準$0.005$の検定であっても$H_0$は棄却される.すなわち有意確率$p$は
\begin{align}
p < 0.005 \end{align}
である.
p < 0.005 \end{align}
尤度比検定
テキスト(7.5.2)より
\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 2\sum_{i=1}^k \log X_i \frac{X_i}{np_{0i}}
\end{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 2\sum_{i=1}^k \log X_i \frac{X_i}{np_{0i}}
\end{align}
が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$k-1$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 28.437
\end{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 28.437
\end{align}
である(計算はエクセルによる).従って尤度比検定を用いた場合でも有意確率$p$は,
\begin{align}
p < 0.005 \end{align}
である.
p < 0.005 \end{align}