ex7.5.2 適合度検定

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.5.2

カイ二乗検定

テキスト(7.5.1)(i)より各色の出現確率が予想通りであるという帰無仮説$H_0$と,そうではないという対立仮説$H_1$に関する検定を行う.

テキスト(7.5.1)(i)の定義通り$Q(\bm{X})$を計算する.次の表を順次埋めるようにして計算すればよい.

$
\begin{array}{|c||*{4}{c|}|c|} \hline
\text{添字}i&1&2&3&4&\text{計} \\\hline
\text{色}&\text{赤}&\text{青}&\text{黄}&\text{緑}&\text{–} \\\hline
\text{観測度数}x_i&50&48&50&52&200\\ \hline
\text{期待確率}p_{0i}&0.2&0.4&0.15&0.25&1\\ \hline
\text{期待度数}np_{0i}&40&80&30&50&200\\ \hline
x_i-np_{0i}&10&-32&20&2&\text{–} \\ \hline
(x_i-np_{0i})^2&100&1024&400&4&\text{–} \\ \hline
\frac{(x_i-np_{0i})^2}{np_{0i}}&2.5&12.8&13.33&0.08&28.71 \\ \hline
\end{array}
$

以上より,$Q(\bm{X}) = 28.71$である.また,統計表より

\begin{align}
\chi^2_{3,0.005} = 12.838
\end{align}

であるから,水準$0.005$の検定であっても$H_0$は棄却される.すなわち有意確率$p$は
\begin{align}
p < 0.005 \end{align}
である.

尤度比検定

テキスト(7.5.2)より

\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 2\sum_{i=1}^k \log X_i \frac{X_i}{np_{0i}}
\end{align}

が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$k-1$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 28.437
\end{align}

である(計算はエクセルによる).従って尤度比検定を用いた場合でも有意確率$p$は,
\begin{align}
p < 0.005 \end{align}
である.