はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex4.5.1
$r$次の標本積率$M_r$は,
\begin{align}
M_r = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^r
\end{align}
M_r = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^r
\end{align}
であり,母集団分布の$r$次の積率は,$E(X^r)$である.
$Y = X^r$とし, 各$X_i$に対して$Y_i = {X_i}^r$とすると,
\begin{align}
M_r &= \overline{Y_n}\\
E(X^r) &= E(Y)
\end{align}
M_r &= \overline{Y_n}\\
E(X^r) &= E(Y)
\end{align}
となる.
ヒンチンの大数の法則により,
\begin{align}
\overline{Y_n} \xrightarrow{P} E(Y)
\end{align}
\overline{Y_n} \xrightarrow{P} E(Y)
\end{align}
となる.これはつまり,
\begin{align}
\overline{M_r} \xrightarrow{P} E(X^r)
\end{align}
\overline{M_r} \xrightarrow{P} E(X^r)
\end{align}
であることを表しているので題意が示された.