ex7.4.7 分散未知の正規分布の平均に関する片側検定

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.4.7

検定

$\mu$を真の平均する.$\mu_0=20$のとき, 帰無仮説$H_0: \mu \ge \mu_0$, 対立仮説$H_1: \mu > \mu_0$の仮説検定を行う.
テキスト(7.4.2)(ii)(a)より,

\begin{align}
T = \frac{\sqrt{n}(\overline{X}- \mu_0)}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\overline{X})^2}{n-1}}} > t_{n-1,\alpha}
\end{align}

であれば,帰無仮説$H_0$を棄却する.与えられた数値から$T$を計算すると,
\begin{align}
T = \frac{\sqrt{16}(24.3- 20)}{\sqrt{\displaystyle \frac{60}{16-1}}} = 8.6
\end{align}

また,$t_{16-1,0.01} = 2.602$なので帰無仮説$H_0$は棄却され,対立仮説$H_0$が採択される.

有意確率

有意確率$p$は,$t_{15}$を自由度$15$の$t$分布に従う確率変数として,

\begin{align}
p = P(t_{15} < T) \end{align}
である.テキストの統計表より$P(t_{15} < 2.947) = 0.005$,であり$p < 0.005$であることがわかる.(これよりも小さい確率を読み取ることはできない)