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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.3.7

$ T = X+Y $とする。
ポアソン分布の再生性から、

\begin{align}
T\sim Po(\lambda_1 + \lambda_2)
\end{align}

従って所与の条件付き確率は、

\begin{align}
P(X=k | T=t) &= \frac{P(X=k,T=t)}{P(T=t)}\lnl
&= \frac{P(X=k)P(Y=t-k)}{P(T=t)}\lnl
&= \cfrac{\exp(-\lambda_1)} {k!}\lambda_1^k\cdot \cfrac{\exp(-\lambda_2) }{(t-k)!}\lambda_2^{t-k} \bigg/ \left( \cfrac{\exp(-(\lambda_1 + \lambda_2)) }{t!}(\lambda_1+\lambda_2)^t \right) \lnl
&= \frac{t!}{k!(t-k)!}\frac{\lambda_1^k \lambda_2^{t-k}}{(\lambda_1 + \lambda_2)^t} \lnl
&= \binom{t}{k} \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \right)^k \left(1 – \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \right)^{t-k}
\end{align}

これは、$ B\left(t, \cfrac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right) $の二項分布の確率関数となるので、題意は示された。