第6章 例題6(p123)

記事の目的

明解演習 数理統計の勉強をしながら気づいた点を書いていきます。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

第6章例題6(p123)

脱字部分と補足

例題の解の最初の式に脱字があります。
こういう風に記載されています。

\begin{align*}
\prod_{i=1}^3 f(x_i;\mu) &= \prod_{i=1}^3 \left(\frac{1}{ \sqrt{2 \pi} \sigma }\right)\exp\left[-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right] \lnl
& = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \right)^3\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^3(x_i-\mu)^2\right] \lnl
& = \sqrt{\frac{3}{2\pi\sigma^2}}\exp\left[-\frac{3(t-\mu)^2}{2\color{red}{\sigma^2}}\right]\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}\pi\sigma^2}\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^3(x_i-\bar{x})^{\color{red}{2}}\right]
\end{align*}

赤字の$ \color{red}{\sigma^2} $や最後の$ \color{red}{{ }^2} $がテキストで脱字している部分です。
初見では最後の二乗が抜けているのに気づくのに数十分かかりました。
同じ悩みを抱える方のために間違いを訂正しつつ、丁寧に変形していきます。なお、(タイピング量を減らすため)指数部分の変形のみにフォーカスを当てて記述します。
そのため、係数の$ -\frac{1}{2\sigma^2} $も省いてしまい、次の等式の導出を目的とします。
$$\sum_{i=1}^3(x_i-\mu)^2 = 3(t-\mu)^2+ \sum_{i=1}^3(x_i-\bar{x})^2$$

では、はじめます。
$ \displaystyle \sum$は$ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} $を表すことにします。
また、$ t = \overline{x} = \cfrac{x_1+x_2+x_3}{3} $の変形を行っている箇所があります。

\begin{align}
\sum(x_i-\mu)^2
&= \sum (x_i^2 – 2 x_i \mu + \mu^2) \lnl
&= \sum x_i^2 – 2 \left(\sum x_i\right) \mu+ 3 \mu^2 \lnl
&= \sum x_i^2 – 2 \cdot 3t \mu+ 3 \mu^2 \Lnl
3(t-\mu)^2
&= 3(t^2-2t\mu+\mu^2) \lnl
&= 3t^2-2\cdot 3t\mu+3\mu^2 \Lnl
\therefore \sum(x_i-\mu)^2 – 3(t-\mu)^2
&= \sum x_i^2 – 3t^2 \Lnl
\sum(x_i-\bar{x})^2
&= \sum(x_i^2-2t x_i + t^2) \lnl
&= \sum x_i^2 – 2t \sum x_i + 3t^2 \lnl
&= \sum x_i^2 – 2t (3t) + 3t^2 \lnl
&= \sum x_i^2 – 3t^2
\end{align}

これで示せました。