はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.4.5
検定
テキスト(7.4.3)(i)(c)より,
\begin{align}
X_0 = \sum_{i=1}^n\frac{(X_i – \mu_0)^2}{{\sigma_0}^2}
\end{align}
X_0 = \sum_{i=1}^n\frac{(X_i – \mu_0)^2}{{\sigma_0}^2}
\end{align}
としたとき,
\begin{align}
X_0 < \chi^2_{n,1-\frac{\alpha}{2}} \text{ または } X_0 > \chi^2_{n,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
X_0 < \chi^2_{n,1-\frac{\alpha}{2}} \text{ または } X_0 > \chi^2_{n,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
であれば,帰無仮説$H_0 : \sigma = \sigma_0$を棄却する.与えられた数値から$X_0$を計算すると,
\begin{align}
X_0 = \frac{4.6\times 15}{{4}} = 17.25
\end{align}
X_0 = \frac{4.6\times 15}{{4}} = 17.25
\end{align}
一方,
\begin{align}
\chi^2_{15,1-\frac{0.05}{2}} = 6.2621 \\
\chi^2_{15,\frac{0.05}{2}} = 27.488
\end{align}
\chi^2_{15,1-\frac{0.05}{2}} = 6.2621 \\
\chi^2_{15,\frac{0.05}{2}} = 27.488
\end{align}
なので,帰無仮説$H_0$は棄却できない.
有意確率
有意確率$p$は,
\begin{align}
p_0 = P(\chi^2_{15} \ge X_0)
\end{align}
p_0 = P(\chi^2_{15} \ge X_0)
\end{align}
としたとき, ($\chi^2_{15}$は自由度$15$のカイ二乗分布に従う確率変数)
\begin{align}
p = \begin{cases} 2\times(1-p_0) &(p_0 > 0.5) \\ 2\times p_0 &(p_0 \le 0.5)\end{cases}
\end{align}
p = \begin{cases} 2\times(1-p_0) &(p_0 > 0.5) \\ 2\times p_0 &(p_0 \le 0.5)\end{cases}
\end{align}
である.
ここで, $p_0$は
\begin{align}
P(\chi^2_{15} \ge 17.25) \fallingdotseq P(\chi^2_{15} \ge 17.322) = 1- 0.7 = 0.3
\end{align}
P(\chi^2_{15} \ge 17.25) \fallingdotseq P(\chi^2_{15} \ge 17.322) = 1- 0.7 = 0.3
\end{align}
と近似できるので,
\begin{align}
p \fallingdotseq 2\times 0.3 = 0.6
\end{align}
p \fallingdotseq 2\times 0.3 = 0.6
\end{align}
と近似できる.
信頼区間
\begin{align}
\sum_{i=1}^15\frac{{X_i}^2}{\sigma^2} = \frac{4.6\times 15}{\sigma^2} = \frac{69}{\sigma^2}
\end{align}
\sum_{i=1}^15\frac{{X_i}^2}{\sigma^2} = \frac{4.6\times 15}{\sigma^2} = \frac{69}{\sigma^2}
\end{align}
である.
\begin{align}
\chi^2_{15,1-\frac{0.05}{2}} \le \frac{69}{\sigma^2} \le \chi^2_{15,\frac{0.05}{2}}
\end{align}
\chi^2_{15,1-\frac{0.05}{2}} \le \frac{69}{\sigma^2} \le \chi^2_{15,\frac{0.05}{2}}
\end{align}
を$\sigma^2$について解いて,
\begin{align}
2.51 \le \sigma^2 \le 11.02
\end{align}
2.51 \le \sigma^2 \le 11.02
\end{align}
となる.