ex5.A.4 対数正規分布が指数型分布族に属することの証明

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex5.A.4

問題文には「既知のパラメータ$\mu ,\sigma^2$の対数正規分布は,・・・」と書いてありますが, そうだとすると未知のパラメータがなくなってしまいますので,「未知のパラメータ$\mu ,\sigma^2$の対数正規分布は,・・・」の誤植だとして解答を作成します.

題意より$\mu,\sigma^2$は未知.

\begin{align}
I_{\mathbb{R}^+}(x) = \begin{cases}1 &x > 0\\ 0 & x \le 0\end{cases}
\end{align}

とおくと確率密度関数は
\begin{align}
f(x;\mu,\sigma^2) &= \frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\Big(\log x – \mu\Big)^2\right)\cdot I_{\mathbb{R}^+}(x) \lnl
&= \frac{I_{\mathbb{R}^+}(x)}{x\sqrt{2\pi}}\exp\left( -\frac{\log^2 x}{2\sigma^2} + \frac{\mu \log x}{\sigma^2} – \frac{\mu^2}{2\sigma^2} -\frac{1}{2}\log \sigma^2 \right)
\end{align}

となる.

ここで

\begin{align}
&h(x) = \frac{I_{\mathbb{R}^+}(x)}{x\sqrt{2\pi}}, \qquad d(\mu,\sigma^2) = – \frac{\mu^2}{2\sigma^2} -\frac{1}{2}\log \sigma^2 \lnl
&c_1(\mu,\sigma^2) = \frac{-1}{2\sigma^2} , \qquad T_1(x) = \log^2 x\lnl
&c_2(\mu,\sigma^2) = \frac{\mu}{\sigma^2} , \qquad T_2(x) = \log x
\end{align}

とおけば$f(x;\mu,\sigma^2)=h(x)\exp\big(c_1(\mu,\sigma^2)T_1(x) + c_2(\mu,\sigma^2)T_2(x) +d(\mu,\sigma^2)\big) $とできるので, 対数正規分布は2パラメータの指数型分布族となる.