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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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(i) 積率母関数の定義に従って計算する。

\begin{align}
m_X(t) &= E\left(e^{tX}\right)\lnl
&= \int_0^{\infty} e^{tx}\cdot e^{-x} \delt x\lnl
&= \int_0^{\infty} e^{x(t-1)} \delt x\lnl
&= \left[\frac{e^{x(t-1) }}{t-1}\right]_0^{\infty}\lnl
&= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{e^{x(t-1) }}{t-1}\right) + \frac{1}{1-t}
\end{align}

従って、$t< 1$の範囲で

\begin{align} m_X(t) = \frac{ 1} {1-t} \end{align}
\begin{align} m_X'(t) &= \frac{1}{(1-t)^2}\lnl m_X''(t) &= \frac{2}{(1-t)^3} \end{align}
であるので、
\begin{align} E(X) &= m_X'(0) = 1\\ E\left(X^2\right) &= m_X''(0) = 2 \end{align}
(ii) (2.6.6)より、
\begin{align} m_Y(t) = e^{-3t} m_X(2t) = \frac{1}{1-2t}e^{-3t} \end{align}
定義域は、$ 2t < 1 \Leftrightarrow t < 1/2 $となる。
\begin{align} m_Y'(t) &= \left(\frac{2}{(1-2t)^2} + \frac{-3}{1-2t}\right)e^{-3t}\lnl \therefore E(Y) &= m_Y'(0) = -1 \end{align}