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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.7.2

まずは$X$と$Y$の周辺密度関数を求めて、期待値と分散を求める。

\begin{align}
f_X(x ) &= \int_0^1 (x+y) \delt y = x+\frac{1}{2}\lnl
E(X) &= \int_0^1 x f_X(x) \delt x = \frac{7}{12}\lnl
E\left(X^2\right) &= \int_0^1 x^2 f_X(x) \delt x = \frac{5}{12}\lnl
V(X) &= E\left(X^2\right) – E(X)^2 = \frac{11}{144}\Lnl
f_Y(y) &= y + \frac{1}{2}\lnl
E(Y) &= \frac{7}{12}\lnl
E\left(Y^2\right) &= \frac{5}{12}\lnl
V(Y) &= \frac{11}{144}
\end{align}

$E(XY)$は定義に従って計算すると、

\begin{align}
E(XY) = \int_0^1 \int_0^1 xy(x+y) \delt y \delt x = \frac{1}{3}
\end{align}

以上より、共分散と相関係数は

\begin{align}
\mathrm{Cov}(X,Y) &= E(XY) – E(X)E(Y) = \frac{-1}{144}\lnl
\rho (X,Y) &= \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)} \sqrt{V(Y)} } = \frac{-1}{11}
\end{align}