はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex1.3.3
(a)
\begin{align}
P(B^c | A) &= \frac{P(B^c \cap A)}{P(A)}\\
&= \frac{P(A) – P(A\cap B)}{P(A)} \\
&= 1-P(B|A)
\end{align}
P(B^c | A) &= \frac{P(B^c \cap A)}{P(A)}\\
&= \frac{P(A) – P(A\cap B)}{P(A)} \\
&= 1-P(B|A)
\end{align}
(b)
\begin{align}
P(B_1\cup B_2|A) &=\frac{P( (B_1\cup B_2) \cap A)}{P(A)} \\
&=\frac{P( (B_1\cap A) \cup (B_2 \cap A) )}{P(A)} \\
&=\frac{P(B_1 \cap A) + P(B_2 \cap A) – P( (B_1 \cap B_2 )\cap A)}{P(A)}\\
&=P(B_1 |A) + P(B_2 |A) – P(B_1 \cap B_2|A)
\end{align}
P(B_1\cup B_2|A) &=\frac{P( (B_1\cup B_2) \cap A)}{P(A)} \\
&=\frac{P( (B_1\cap A) \cup (B_2 \cap A) )}{P(A)} \\
&=\frac{P(B_1 \cap A) + P(B_2 \cap A) – P( (B_1 \cap B_2 )\cap A)}{P(A)}\\
&=P(B_1 |A) + P(B_2 |A) – P(B_1 \cap B_2|A)
\end{align}