ex1.4.10 先勝となる場合の事象の確率

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.4.10

$p=0.6$ , $q = 1-p = 0.4$とする。
以下、X勝Y敗というときは、AがX勝、BがY勝している状態のことをいう。

(a)5試合目まで3勝2敗で、6試合目にAが勝つ確率だから、

\begin{align}\binom{5}{3} p^3 q^2 \times p = 10 (0.4)^2 (0.6)^4\end{align}

(b) Aが5試合目で4勝する、または、Bが5試合目で4勝する確率だから、

\begin{align}\binom{4}{3} p^3 q \times p + \binom{4}{1} p q^3 \times q = 4(0.4)(0.6)^4 + 4(0.6)(0.4)^4\end{align}

(c) 4試合目~7試合目にAが優勝する確率の和だから、

\begin{align}
&p^4 + \binom{4}{1}qp^4 + \binom{5}{2}q^2p^4 + \binom{6}{3}q^3p^4 \\
\quad&= (0.6)^4(1+4(0.4) + 10(0.4)^2 + 20(0.4)^3)
\end{align}