ex3.9.2 カイ二乗分布の最頻値(モード)

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.9.2

確率密度関数を微分して、

\begin{align}
f'(x) &= \left(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2} \right) } x^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2} } \right)’ \lnl
&= \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2} \right) }\left\{ \frac{n-2}{2} x^{\frac{n}{2}-2} e^{-\frac{x}{2} } – \frac{1}{2} x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2} } \right\} \lnl
&= \frac{1}{2}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2} \right) }x^{\frac{n}{2}-2} e^{-\frac{x}{2}} \{ (n-2) – x \}
\end{align}

\begin{align}
f'(x) = 0 \Longleftrightarrow x= 0 , n-2
\end{align}

$n > 2$のとき, 増減表は
\begin{array}{|c|*4{c|}} \hline
x& 0 & \cdots & n-2 & \cdots\\ \hline
f’&0&+&0&-\\ \hline
f & 0 & \nearrow & \text{Max} & \searrow \\ \hline
\end{array}
となり、 $n-2$がモードであることがわかる。

$n \le 2$のとき, 確率密度関数は単調減少であり、定義域に端点$0$を含まないのでモードは存在しない。
よって、モードは $n > 2$のとき$n-2$である。